Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als Steigung der Tangente: Unterschied zwischen den Versionen

Aus ZUM-Unterrichten
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Die Steigung der Tangente)
(Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung)
K (Die Tangente)
(Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung)
 
(Eine dazwischenliegende Version desselben Benutzers wird nicht angezeigt)
Zeile 12: Zeile 12:
 
{{Lösung versteckt|1= Lösung |Merksatz}}
 
{{Lösung versteckt|1= Lösung |Merksatz}}
 
<br/>
 
<br/>
d) Ergänzen Sie zu den Gemeinsamkeiten aus Aufgabe a) was Ihnen in Aufgabe b) und c) aufgefallen ist. {{Lösung versteckt|1={{Box|Die Tangente als Schmiegegerade|Die Eigenschaft der Tangente sich dem Graphen einer Funktion in einer kleinen Umgebungen anzupassen, wird als die ,,Schmiegeeigenschaft" der Tangente bezeichnet.  |Merksatz}}|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
+
d) Ergänzen Sie zu den Gemeinsamkeiten aus Aufgabe a) was Ihnen in Aufgabe b) und c) aufgefallen ist. {{Lösung versteckt|1={{Box|Die Tangente als Schmiegegerade|Die Eigenschaft der Tangente sich dem Graphen einer Funktion in einer kleinen Umgebungen anzupassen, wird als die ,,Schmiegeeigenschaft" der Tangente bezeichnet.  |Merksatz}}|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 +
e) Treffen Sie eine Aussage über die Steigung der Tangente und die Steigung der Funktion im Berührpunkt mit der Tangente.
 +
|Arbeitsmethode
 
}}
 
}}
  
Zeile 67: Zeile 69:
 
<br/>
 
<br/>
 
{{Box|Aufgabe 4|
 
{{Box|Aufgabe 4|
a) Beschreiben Sie auf was zu achten ist, wenn mit Hilfe der Steigung der Sekante durch zwei Punkte der Funktion die Steigung der Tangente möglichst genau bestimmen will.
+
Beschreiben Sie auf was zu achten ist, wenn mit Hilfe der Steigung der Sekante durch zwei Punkte der Funktion die Steigung der Tangente möglichst genau bestimmen will.
 
{{Lösung versteckt|Applets|Applets anzeigen|Applets verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|Applets|Applets anzeigen|Applets verbergen}}
 
|Arbeitsmethode
 
|Arbeitsmethode
 
}}
 
}}

Aktuelle Version vom 14. August 2019, 14:49 Uhr

Info
In diesem Abschnitt werden Sie sich die Grundvorstellung der Ableitung als Steigung der Tangente selbst erarbeiten. Tangenten haben Sie bereits in der Sekundarstufe 1 im Zusammenhang mit Kreisen kennengelernt. In diesem Abschnitt wird diese bereits vorhandene Vorstellung auf das analytische erweitert. Als Vorwissen sollten Sie über Kenntnisse von Sekanten, linearer Funktionen und des Differenzenquotienten verfügen. Sollten die Hilfen auf dieser Seite nicht genügen, wird auf die Seite Vorwissen verwiesen.

Tangentensteigung Bild.png

Die Tangente

Aufgabe 1

a) In diesem Applet sehen Sie zwei verschiedene Tangenten. Nennen Sie Unterschiede und Gemeinsamkeiten der beiden Tangenten

Text zum Verstecken

b) Zoomen Sie in diesem Applet in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was Sie sehen.

Text zum Verstecken

c) Zoomen Sie in diesem Applet in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was Sie sehen.

Merksatz


d) Ergänzen Sie zu den Gemeinsamkeiten aus Aufgabe a) was Ihnen in Aufgabe b) und c) aufgefallen ist.
Die Tangente als Schmiegegerade
Die Eigenschaft der Tangente sich dem Graphen einer Funktion in einer kleinen Umgebungen anzupassen, wird als die ,,Schmiegeeigenschaft" der Tangente bezeichnet.

e) Treffen Sie eine Aussage über die Steigung der Tangente und die Steigung der Funktion im Berührpunkt mit der Tangente.

Die Steigung einer Sekante

Beispielbild Sekante.png

Aufgabe 2

a) Geben Sie die Definition einer Sekante, wie Sie sie im obigen Bild zu sehen ist an.

Text zum Verstecken

b) Geben Sie an wie sich die Steigung einer Sekante durch die Punkte und allgemein berechnen lässt.

Differerenzenquotient Hilfe.png

c) Berechnen Sie in diesem Applet die Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q.

Text zum Verstecken

Die Steigung der Tangente


Aufgabe 3

Wir betrachten die Funktion , den festen Punkt mit und den flexiblen Punkt .
Nähern Sie den Punkt Q in 4 Schritten so nahe wie es das Applet zulässt dem Punkt P.
Halten Sie die Schritte in folgender Tabelle schriftlich fest. Entnehmen Sie die benötigten Werte dem Applet.

Tabelle: Aufgabe 3
Schritt 1
Schritt 2
Schritt 3
Schritt 4


Aufgabe 4

Beschreiben Sie auf was zu achten ist, wenn mit Hilfe der Steigung der Sekante durch zwei Punkte der Funktion die Steigung der Tangente möglichst genau bestimmen will.

Applets