Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF05 Scheitelpunktform und Normalform

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Lernschritt Scheitelpunktform und Normalform

• In diesem Lernschritt wird die Normalparabel zunächst sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben und dann gefragt, wie die Funktionsgleichung aussieht, die zu dem verschobenen Graphen gehört.
• Im nächsten Schritt wird die Normalparabel dann nicht mehr nur verschoben, sondern zusätzlich auch noch in y-Richtung gestreckt.
• Es wird erklärt, was die Scheitelpunktform und was die Normalform einer Parabel ist.
• Schließlich wird gezeigt, wie man mithilfe einer so genannten quadratischen Ergänzung aus der Normalform einer quadratischen Funktion ihre Scheitelpunktform gewinnen kann.

1. Aufgabe - Funktionsgleichung aus Graph bestimmen

QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf

In der Abbildung "QF05 Abbildung 1" ist eine Parabel $f$ dargestellt, die durch Verschiebung der Normalparabel im Koordinatensystem sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung entstanden ist.

1. Ermittle anhand der Abbildung die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel $f$.
2. Gib an, um wieviele Einheiten und in welche Richtungen die Normalparabel verschoben wurde.
3. Gib die Funktionsgleichung der Parabel $f$ an.

Man kann die Verschiebung in x- und y-Richtung in zwei Einzelschritte "Verschiebung in x-Richtung" und "Verschiebung in y-Richtung" aufspalten, die hintereinander ausgeführt werden, denn die entsprechenden Transformationsgleichungen gelten für alle Funktionen. Wenn man die Normalparabel also zuerst in x-Richtung verschoben hat, dann kann man auch auf die dadurch erzeugte Funktion die Transformationsgleichung für die Verschiebung in y-Richtung anwenden.

1. Der Scheitelpunkt der Parabel $f$ besitzt die Koordinaten $S(3|-4)$.
2. Der Scheitelpunkt der Normalparabel $O(0|0)$ wurde um 3 Einheiten nach rechts und um 4 Einheiten nach unten zum Scheitelpunkt $S(3|-4)$ von $f$ verschoben. Entsprechend wurden auch alle anderen Punkte der Normalparabel und damit ihr gesamter Graph um 3 Einheiten nach rechts und um 4 Einheiten nach unten verschoben.
3. Die Parabel besitzt die Funktionsgleichung $f(x) = (x - 3)^2 -4$

2. Aufgabe - Funktionsgleichung in Normalform

1. Forme die Funktionsgleichung $f(x) = (x - 3)^2 -4$ um, indem du die Klammer ausmultiplizierst oder eine Binomische Formel anwendest und anschließend so weit wie möglich zusammenfasst.
2. Berechne den Schnittpunkt dieser Parabel $f$ mit der y-Achse.

1. $f(x) = (x - 3)^2 -4$ $\Leftrightarrow f(x) = x^2 -6x + 9 - 4$ $\Leftrightarrow f(x) = x^2 -6x +5$
2. Ansatz zur Berechnung des Schnittpunktes $S_y$ mit der y-Achse: Setze in der Funktionsgleichung $x = 0$:
   $f(0) = 0^2 -6\cdot 0 +5 = 5$   Der Schnittpunkt mit der y-Achse besitzt die Koordinaten $S_y(0|5)$.

Scheitelpunktform und Normalform einer verschobenen Normalparabel

Die Funktionsgleichung $\boldsymbol{ f(x) = (x - 3)^2 -4 }$ wird als Scheitelpunktform der Funktion $f$ bezeichnet, weil man darin die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt ablesen kann. Die Gleichung $\boldsymbol{ f(x) = x^2 -6x +5 }$ bezeichnet man als ihre Normalform. Darin nennt man den Ausdruck $x^2$ quadratisches Glied, den Ausdruck $-6x$ lineares Glied und $+5$ absolutes Glied des Funktionsterms. In der Normalform einer Parabel kann man am absoluten Glied direkt ablesen, wo sie die y-Achse schneidet.

Weiter unten in diesem Lernschritt folgen noch die allgemeinen Gleichungen der Scheitelpunkt- und Normalform einer quadratischen Funktion. Bei diesen wird dann zusätzlich auch noch eine Streckung der Parabel in y-Richtung berücksichtigt.

Quadratische Ergänzung

In der Scheitelpunktform sind die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt ablesbar. Wenn man nun aber die Funktionsgleichung einer Parabel nur in der Normalform gegeben ist und ihr Scheitelpunkt ermittelt werden soll, dann stellt sich die Frage, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform umwandeln kann.

Während die Umformung der Scheitelpunktform in die Normalform recht einfach zu bewerkstelligen ist, wie wir in der 2. Aufgabe gesehen haben, ist die Umformung in der entgegengesetzten Richtung nicht ganz so einfach, besteht aber im Prinzip aus den gleichen Schritten in umgekehrter Reihenfolge. Wir demonstrieren die Vorgehensweise, die auch als quadratische Ergänzung bezeichnet wird, an der Beispielfunktion $f$ aus der 2. Aufgabe. Unser Ausgangspunkt ist die Normalform:

$f(x) = x^2 -6x +5$

Als erstes wird geschaut, wie man die ersten beiden Summanden des Funktionsterms, also $x^2 -6x$ so durch eine Quadratzahl ergänzen kann, dass ein Ausdruck entsteht, den man mithilfe der zweiten binomischen Formel

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

in einen "Klammerausdruck zum Quadrat" umwandeln kann.

Auf der rechten Seite der Formel entspricht der Summand $a^2$ dem quadratischen Glied $x^2$ der Funktionsgleichung. Der mittlere Ausdruck $-2ab$ entspricht dem lineare Ausdruck $-6x$.

$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

$x^2 - 6x \; + ?^2 = (x - ?)^2$

Wenn $x$ dem $a$ entspricht und $-6x$ dem $2ab$: Welche Quadratzahl entspricht dann in der Funktionsgleichung dem $b^2$ in der Formel? Man kann $b$ ausrechnen, indem man die beiden mittleren Ausdrücke aus Formel und Funktionsgleichung gleichsetzt: $-2ab = -6x$, anschließend in dieser Gleichung das $a$ durch $x$ ersetzt und dann noch auf beiden Seiten der Gleichung durch $-2x$ dividiert: $-2xb = -6x$ $\Rightarrow b =3$ $\Rightarrow b^2 = 9$.

Nach dieser Vorüberlegung kommt jetzt im nächsten Schritt die eigentliche quadratische Ergänzung: Der Ausdruck $x^2 -6x +5$ wird einerseits um den Summand 9 ergänzt, um die binomische Formel anwenden zu können, andererseits wird die Zahl 9 aber auch gleich wieder subtrahiert, damit der Funktionsterm der Funktion $f$ insgesamt unverändert bleibt. Das sieht dann erst einmal etwas merkwürdig, nämlich so aus:

$f(x) = x^2 -6x \; \boldsymbol{+ 9 - 9} \; + 5$

Nun können die ersten drei Summanden des Terms nach der zweiten binomischen Formel mit $a = x$ und $b = 3$ in einen quadrierten Klammerausdruck umgewandel werden:

$f(x) = \boldsymbol{x^2 -6x + 9} \; - 9 + 5$

$f(x) = \boldsymbol{(x -3)^2} \; - 9 + 5$

Jetzt muss nur noch der Ausdruck $- 9 + 5$ zu $-4$ zusammengefasst werden und man erhält die Scheitelpunktform

$f(x) =(x-3)^2 -4$

3. Aufgabe - Quadratische Ergänzung üben

In dieser Aufgabe wird das Verfahren der quadratischen Ergänzung geübt. Folgende Funktionsgleichungen in Normalform sind gegeben:

1. $f(x) = x^2 -2x -8$
2. $g(x) = x^2 -4x +3$
3. $h(x) = x^2 +3x -4$

• Wandele jeweils die Normalform mithilfe einer quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform um.
• Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes sowie den Schnittpunkt mit der y-Achse.
• Ermittle zur Kontrolle rechnerisch aus der Scheitelpunktform wieder die Normalform.

In dem GeoGebra-Applet kannst du die Parameter $d$ und $e$ für die Verschiebung in x- und y-Richtung mit der Maus verändern. Die Schieberegler kannst du durch kurze Klicks oder nach dem Anklicken mit den Pfeiltasten auf einen exakten Wert einstellen.

1. $f(x) = x^2 -2x + 1 - 1 -8$ $= (x - 1)^2 -9$,
   Scheitelpunkt $S(1|-9)$,  Schnittpunkt mit y-Achse $S_y(0|-8)$
2. $g(x) = x^2 -4x + 4 -4 + 3$ $= (x - 2)^2 -1$,
   Scheitelpunkt $S(2|-1)$,  Schnittpunkt mit y-Achse $S_y(0|3)$
3. $h(x) = x^2 +3x + 2,25 - 2,25 - 4$ $= (x + 1,5)^2 -6,25$,
   Scheitelpunkt $S(-1,5|-6,25)$,  Schnittpunkt mit y-Achse $S_y(0|-4)$

Scheitelpunktform und Normalform allgemein

Jetzt wird die Normalparabel nicht nur in x- und y-Richtung verschoben, sondern zusätzlich auch noch in y-Richtung gestreckt. Die entsprechenden Transformationen werden hintereinander ausgeführt (man spricht auch von einer "Verkettung").

4. Aufgabe

QF05 Abbildung 2 Arial24.pdf

Der Graph einer quadratischen Funktion $f$ entsteht, indem man die Normalparabel zuerst in y-Richtung mit dem Streckfaktor $a = \frac{1}{4}$ streckt, dann 4 Einheiten nach rechts und anschließend um 1 Einheit nach unten verschiebt.

1. Bestimme die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt von $f$.
2. Ermittle die Normalform von $f$ und ihren Schnittpunkt mit der y-Achse.

1. Durch die Streckung der Normalparabel in y-Richtung mit dem Streckfaktor $a = \frac{1}{4}$ erhält man zunächst die Funktion $i(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2$ (siehe Kapitel Benutzer:ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF04 Normalparabel strecken und spiegeln 2. Aufgabe). Der Scheitelpunkt bleibt dabei unverändert im Punkt $S_i(0|0)$.
   Verschiebung der Parabel $i$ um 4 Einheiten nach rechts führt zu $j(x) = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2$. Der Scheitelpunkt wird dabei auch um 4 Einheiten nach rechts verschoben und landet daher im Punkt $S_j(4|0)$.
   Verschiebung der Parabel $j$ um eine Einheit nach unten führt schließlich zu der gesuchten Funktionsgleichung in Scheitelpunktform $f(x) = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2 - 1$.
   Der Scheitelpunkt $S_j(4|0)$ wird bei dieser Verschiebung ebenfalls um eine Einheit nach unten verschoben und landet somit im Punkt $S_f(4|-1)$.
   Die Koordinaten des Scheitelpunktes $x_s = 4$ und $y_s = -1$ von $f$ können aus dieser "allgemeinen Scheitelpunktform" direkt ablesen kann.
2. Normalform ermitteln:
   $f(x) = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2 - 1$ $= \frac{1}{4} \cdot (x^2 - 8x + 16) - 1$ $= \frac{1}{4} x^2 - 2x + 4 - 1$. Hieraus erhält man schließlich die gesuchte Normalform $f(x) = \frac{1}{4} x^2 - 2x + 3$.
   Der Graph von $f$ schneidet die y-Achse im Punkt $S_y(0|3)$.

5. Aufgabe

QF05 Abbildung 3 Arial24.pdf

Der Graph einer quadratischen Funktion $f$ besitzt die Form einer nach unten geöffneten Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S_f(-3|1)$.

1. Ermittle die Scheitelpunktform von $f$.
2. Bestimme die Normalform von $f$ und ihren Schnittpunkt mit der y-Achse.

Man erhält eine nach unten geöffnete Normalparabel, indem man die Normalparabel an der x-Achse spiegelt. Dies entspricht einer Streckung in y-Richtung mit dem Streckfaktor $a=-1$.

1. Scheitelpunktform: $f(x) =-(x+3)^2 +1$
2. Normalform: $f(x) =-(x^2 +6x +9) +1$ $=-x^2 -6x -9 +1$ $=-x^2 -6x -8$
   Schnittpunkt mit der y-Achse: $S_y(0|-8$

Allgemeine Scheitelpunktform

Wenn die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion $f$ die Form

$\boldsymbol{ f(x) =a \cdot (x-d)^2 +e }$   mit   $a \not= 0$

besitzt, befindet sie sich in der allgemeinen Scheitelpunktform. In dieser kann man die x-Koordinate $x_s = d$ und die y-Koordinate $y_s = e$ des Scheitelpunktes $S_f(d|e)$ direkt ablesen. Manchmal wird die Scheitelpunktform auch in folgender Schreibweise angegeben:

$\boldsymbol{ f(x) =a \cdot (x-x_s)^2 +y_s }$   mit   $a \not= 0$

Anmerkung: Der Fall $a = 0$ wird in der Gleichung einer quadratischen Funktion ausgeschlossen, weil in diesem Fall $f(x) =e$ ist und es sich hierbei also um eine lineare Funktion handelt, deren Graph eine Parallele zur x-Achse ist.

Allgemeine Normalform

Wenn die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion $f$ die Form

$\boldsymbol{ f(x) =a\;x^2 + b\;x + c }$   mit   $a \not= 0$

besitzt, dann befindet sie sich in der allgemeinen Normalform. In dieser kann man die y-Koordinate $c$ des Schnittpunktes mit der y-Achse $S_y(0|c)$ direkt ablesen. Die Faktoren vor den x-Ausdrücken $a$, $b$ und $c$ bezeichnet als ihre Koeffizienten. Diese werden manchmal auch mit $a_2$, $a_1$ und $a_0$ benannt. Die Normalform der quadratischen Funktion sieht dann so aus:

$\boldsymbol{ f(x) =a_2\;x^2 + a_1\;x + a_0 }$   mit   $a_2 \not= 0$

Der Graph einer quadratischen Funktion wird allgemein als Parabel bezeichnet, ihr Funktionsterm auch als "Polynom 2. Grades".

Von der allgemeinen Normalform zur Scheitelpunktform

Auch die allgemeine Nomalform kann mithilfe einer quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform überführt werden. Dabei werden im Prinzip die Rechenschritte, die von der Schweitelpunktform zur Normalform geführt haben, in umgekehrter Reihenfolge durchgeführt. Dies wird hier am Beispiel der Funktion $f(x) = \frac{1}{4} x^2 - 2x + 3$ aus der 4. Aufgabe gezeigt.

Beispiel

$f(x) = \frac{1}{4} x^2 - 2x + 3$    | den Faktor $a=\frac{1}{4}$ aus dem gesamten Term ausklammern.
    $= \frac{1}{4} \cdot (x^2 - 8x + 12 )$    | Quadratische Ergänzung mit $4^2 =16$ innerhalb der Klammer
    $= \frac{1}{4} \cdot (\boldsymbol{ x^2 - 8x +16} -16 + 12)$    | binomische Formel anwenden, hinten Summanden zusammenfassen
    $= \frac{1}{4} \cdot \left( \boldsymbol{ (x-4)^2 } -4 \right)$    | Faktor $\frac{1}{4}$ in die äußere Klammer hineinmultiplizieren
    $= \frac{1}{4} \cdot (x-4)^2 -1$

6. Aufgabe

Überführe die Normalform $f(x) =-x^2 -6x -8$ der Funktion $f$ aus der 5. Aufgabe mithilfe einer quadratischen Ergänzung zurück in die Scheitelpunktform.

Klammere im ersten Schritt das Minuszeichen vor $x^2$ aus dem gesamten Funktionstem aus, um innerhalb der Klammer einen Ausdruck zu erhalten, der mit $x^2$ beginnt und auf die gleiche Weise quadratisch ergänzt werden kann, wie dies oben im Abschnitt "Quadratische Ergänzung" gezeigt wurde. Nach Anwendung der binomischen Formel wird das Minuszeichen wieder in die Klammer hineinmultipliziert, um die Scheitelpunktform zu erhalten.

$f(x) =-x^2 -6x -8$   | den Faktor $a=-1$ ausklammern.
$f(x) = - (x^2 +6x +8 )$    | Quadratische Ergänzung mit $3^2 =9$ innerhalb der Klammer
$f(x) = -(\boldsymbol{ x^2 +6x +9} -9 +8)$    | binomische Formel anwenden, hinten Summanden zusammenfassen
$f(x) = - \left( \boldsymbol{ (x+3)^2 } -1 \right)$    | Faktor $(-1)$ in die äußere Klammer hineinmultiplizieren
$f(x) = -(x+3)^2 +1$

7. Aufgabe

Beschreibe, wie die Parabel $f(x) = -\frac{2}{5}x^2 -\frac{4}{5}x +\frac{6}{5}$ durch eine Verkettung von Transformationen aus der Normalparabel entsteht.

Klammere im ersten Schritt den Koeffizienten von $x^2$ aus dem gesamten Funktionstem aus, um dann innerhalb der Klammer einen Ausdruck zu erhalten, der mit $x^2$ beginnt und auf die gleiche Weise quadratisch ergänzt werden kann, wie dies oben im Abschnitt "Quadratische Ergänzung" gezeigt wurde. Nach Anwendung der binomischen Formel wird der Koeffizient wieder in die Klammer hineinmultipliziert, um die Scheitelpunktform zu erhalten.

$f(x) = -\frac{2}{5}x^2 -\frac{4}{5}x +\frac{6}{5}$   | den Faktor $a=-\frac{2}{5}$ ausklammern.
$f(x) = -\frac{2}{5} \cdot (x^2 +2x -3 )$    | Quadratische Ergänzung mit $1^2 =1$ innerhalb der Klammer
$f(x) = -\frac{2}{5} \cdot (\boldsymbol{ x^2 +2x +1} -1 -3)$    | binomische Formel anwenden, hinten Summanden zusammenfassen
$f(x) = -\frac{2}{5} \cdot \left( \boldsymbol{ (x+1)^2 } -4 \right)$    | Faktor $-\frac{2}{5}$ in die äußere Klammer hineinmultiplizieren
$f(x) = -\frac{2}{5} \cdot (x+1)^2 +\frac{8}{5}$
Die Normalparabel wird mit dem Streckfaktor $a= -\frac{2}{5}$ zunächst an der x-Achse gespiegelt und zusätzlich gestaucht. Es entsteht eine nach unten geöffnete Parabel. Diese wird anschließend um eine Einheit nach links und um $\frac{8}{5} =1,6$ Einheiten nach oben verschoben.

Mit den folgenden GeoGebra-Applets kannst du überprüfen, ob die Normalform und die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion zu der gleichen Parabel gehören. Die Parameter sind hier erst mal so eingestellt, dass die Funktion aus der 4. Aufgabe $f(x) = \frac{1}{4} x^2 - 2x + 3 = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2 - 1$ dargestellt wird.

Normalform  $\boldsymbol{f(x) =a x^2 + bx + c}$

Scheitelpunktform  $\boldsymbol{f(x) =a \cdot (x -d)^2 +e}$

8. Aufgabe

Verschiebe die Parabel $f(x) = \frac{1}{4} x^2 - 2x + 3 = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2 - 1$ um 2 Einheiten nach links. Wie verändern sich dadurch die Parameter in der Normalform?

Verschiebung von $f(x) = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2 - 1$ um 2 Einheiten nach links führt zu der Parabel $g(x) = \frac{1}{4} \cdot (x - 2)^2 - 1$ $= \frac{1}{4} \cdot (x^2 -4x +4)^2 - 1$ $= \frac{1}{4} x^2 -x + 1 - 1$ $= \frac{1}{4} x^2 -x$.

Alternativ kann man auch die Transformationsgleichung $g(x) = f(x+2)$ auf die Normalform $f(x) = \frac{1}{4} x^2 - 2x + 3$ von $f$ anwenden, indem man darin jedes $x$ durch $x+2$ ersetzt: $g(x) = f(x+2) = \frac{1}{4} (x+2)^2 - 2(x+2) + 3$ $= \frac{1}{4} \cdot (x^2 + 4x +4) - 2x -4 + 3$ $= \frac{1}{4} x^2 + x + 1 -2x - 4+ 3$ $= \frac{1}{4} x^2 - x$

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