Benutzer:CarlottaHannah/ Einführung in die linearen Funktionen

Lernpfad: Einführung in die linearen Funktionen

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Hallo und herzlich Willkommen zum Lernpfad zur Einführung in die linearen Funktionen.

Da du bereits den Begriff der Zuordnungen kennengelernt hast und den Aspekt der Linearität von Zuordnungen verstanden hast, bist du hier genau richtig!

Der Lernpfad ist für die achte Klasse geeignet und dient dazu, dass du dir die Basics des Themas Lineare Funktionen selbstständig erarbeiten kannst. Der zeitliche Umfang für die Erarbeitung beträgt vier Einzelstunden. Damit dir das eigenständige Arbeiten auch gut gelingen kann, solltest du dir vor dem Bearbeiten überlegen, womit du beginnen möchtest. Organisiere deinen Arbeitsplan so, dass du jede Stunde weißt, was heute ansteht. Nach jeder Stunde lädst du dir den Selbstreflexionsbogen herunter und füllst diesen aus. Damit kannst du dein Arbeiten überwachen und von Stunde zu Stunde optimieren.

Am Ende der Einheit nimmst du alle Stundenreflexionen zusammen und überlegst dir, inwiefern sich dein selbstständiges Arbeiten im Laufe der Stunden verbessert hat und reflektierst deinen Lernfortschritt abschließend.

Differenzierungserklärung fehlt

Viel Spaß!

Hier findest du den Bogen zur Selbstreflexion nach jeder Stunde.

🧮Kompetenzen

Die Lerngruppe, die den Lernpfad bearbeitet sollte ein intuitives Begriffsverständnis zu Funktionen und Linearität bereits mitbringen. Die Kenntnis über funktionale und lineare Zusammenhänge wird für die Aufgaben vorausgesetzt und der Lernpfad knüpft an dieser Stelle an. Das heißt die Lernenden können bereits Punkte in einem Koordinatensystem eintragen und sollen nun an die Darstellung und Operation mit linearen Funktionen herangeführt werden.

Die Lernenden erweitern mit dem Lernpfad ihre Darstellungskompetenz und bauen ihr intuitives Begriffsverständnis zu einem inhaltlichen Begriffsverständnis aus.

🎯Lernziele

Die Schülerinnen und Schüler...

...können lineare Zusammenhänge in verschiedenen Darstellungsformen (verbal, grafisch und tabellarisch) identifizieren.

...können den Einfluss der Parameter m und b beschreiben und diese aus gegebenen Informationen berechnen.

...können zu Sachsituationen Funktionsgleichungen aufstellen, grafisch darstellen und diese zur Lösung einfacher Probleme nutzen.

Wiederholung - Was sind eigentlich lineare Funktionen?

Weißt du noch?

Lineare Zusammenhänge sind proportionale Zuordnungen. Also Zusammenhänge, bei denen die Wertepaare sich immer gleichmäßg ändern, Verdopplung von x bewirkt auch eine Verdopplung von y etc.

Versuche nun dein Wissen durch die Aufgaben aufzufrischen.

Aufgabe Nr. 1

Welche der drei gezeigten Graphen zeigt eine lineare Funktion? Begründe deine Antrwort.

1) und 3) sind linear. Das erkennt man daran, dass es sich um proportionalen Zuwachs oder proportionale Abnahme handelt. Das bedeutet, dass pro Einheit auf der x-Achse der gleiche Zuwachs/die gleiche Abnahme auf der y-Achse zu beobachten ist.

2) ist nicht linear, weil erst eine Abnahme und dann eine Zunahme stattfindet.

Aufgabe Nr. 2

Welche Tabelle stellt einen linearen Zusammenhang dar?

Übertrage die richtige Tabelle in dein Heft und begründe, indem du die Pfeile wie im Beispiel setzt.

Beispiel zur Aufgabe Nr. 2

Tabelle 1

x	f(x)
1	5
2	10
3	15
4	20

Tabelle 2

x	f(x)
1	4
2	8
3	16
4	20

Tabelle 3

x	f(x)
4	2
5	4
6	6
7	9

Tabelle 1 beschreibt eine lineare Zuordnung. Das wird daran deutlich, dass für jeden Schritt, in der Spalte für x, plus 1 gerechnet wird und in der Spalte für y plus 5 gerechnet wird. Damit handelt es sich um ein proportionales Wachstum.

Die Tabellen 2 und 3 beschreiben keine linearen Zusammenhänge, da jeweils in einer Zeile die Änderung von y, im Vergleich zu den anderen Zeilen, abweicht.

Funktionsgleichung entdecken

Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet: f(x)=mx+b oder y=mx+b. Wofür die beiden Parameter stehen wirst du hier herausfinden. f ist der Name der Funktion, sie kann also auch genauso gut g, h, s, oder p heißen.

Parameter sind in der Mathematik Größen, die veränderbar, also variabel, sind. Sie treten oftmals in Funktionen oder Gleichungen auf. In einer einzelnen Funktion haben Parameter allerdings einen festen Wert, während Variablen, wie x und y, unendlich viele verschiedene Werte annehmen können.

Werden die Parameter erneut anders gewählt, handelt es sich um eine ganz andere lineare Funktion.

Wertetabelle

🍎Wenn du einkaufen gehst und ein Apfel 0,40 € kostet, kannst du den Preis leicht berechnen:

1 Apfel kostet 0,40 €, 2 Äpfel kosten 0,80 €, 3 Äpfel 1,20 € usw.

Hier besteht eine Zuordnung zwischen der Anzahl der Äpfel (x) und dem Preis (y).

Aufgabe Nr. 1

Stelle eine Wertetabelle auf.

Lösung

Anzahl der Äpfel (x)	Preis in € (y)
1	0,40€
2	0,80€
3	1,20€
4	1,60€
5	2,00€

Aufgabe Nr. 2

a) Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft und trage die Wertepaare deiner Wertetabelle dort ein.

b) Verbinde die Punkte. Was fällt dir auf? Beschreibe die entstandene Zeichnung in deinem Heft.

Benutze deine Tabelle. Wie viel Preis pro dazukommendem Apfel muss man mehr bezahlen? Setze Pfeile an deiner Tabelle, welche Operation von Spalte zu Spalte der Wertetabelle für x und y vorgenommen wird.

Punktprobe

Aufgabe Nr. 3

Finde mit Hilfe deiner Zeichnung aus Aufgabe Nr. 2 heraus, ob 7 Äpfel 2,80€ kosten oder 3,10€. In Koordinatenschreibweise: P(7|2,8) und Q(7|3,1).

Begründe, zu welchem Entschluss du kommst.

7 Äpfel kosten 2,80€. Das kann man daran erkennen, dass bei dem Wert x=7 die y-Achse den Wert 2,80 annimmt. Der Punkt P(7|2,8) liegt auf dem Graphen, während der Punkt Q(7|3,1) nicht auf dem Graphen liegt.

Aufgabe Aufgabe 4: Differenzierungsaufgabe

Liegen die Punkte A(7|2,8) und B(1|0,5) auf der Geraden aus Aufgabe Nr. 2?

Suche dir zum Lösen der Aufgabe die Teilaufgabe a) ODER b) aus.

Teilaufgabe b) ist eine ⭐-Aufgabe.

a) Überprüfe mit Hilfe der zugehörigen Funktionsgleichung f(x)=0,4x, ob die Punkte A(7|2,8) und B(1|0,5) auf der Geraden liegen.

Jeder Punkt hat eine x- und eine y-Koordinate. Wenn man eine davon kennt, kann man diese in die Funktionsgleichung einsetzen und die andere ausrechnen. Was müsste für y rauskommen, wenn wir die bekannte x-Koordinate einsetzen, damit der Punkt auf dem Graphen liegt bzw. nicht drauf liegt?

b) Hast du eine Idee, wie man dies rechnerisch herausfinden kann? Falls ja, versuche dein mögliches Vorgehen zu erklären.

Hinweis zu b): Du musst kein konkretes Ergebnis berechnen. Es reicht, dein Vorgehen allgemein zu erläutern.

a) Setze A(7|2,8) in f(x)=0,4x ein mit f(x)=2,8 und x=7. Also $2,8=0,4\cdot7$. Das ist 2,8 = 2,8. Also liegt der Punkt auf der Geraden. Setze B(1|0,5) in f(x)=0,4x ein mit f(x)=0,5 und x=1. Also $0,5=0,4\cdot1$. Das ist 0,5=0,4 ↯. Der Punkt B(1|0,5) liegt also nicht auf der Geraden.

b) Ein Punkt hat eine x-Koordinate und eine y-Koordinate. Beide Koordinaten sind voneinander abhängig. Eine lineare Funktion besitzt ebenfalls eine x-Koordinate und eine y-Koordinate. In eine bestimmte lineare Funktion kann man den Punkt einsetzen, bei welchem man herausfinden möchte, ob dieser auf dem Graphen liegt oder nicht.

1. Das heißt also, man setzt die x-Koordinate des Punktes in die Gleichung für x ein und die y-Koordinate wird für das y in der Gleichung eingesetzt.

2. Danach können beide Seiten zusammengefasst werden.

3. Steht auf beiden Seiten die gleiche Zahl, so liegt der Punkt auf der Geraden. Stehen auf beiden Seiten unterschiedliche Zahlen, so liegt der Punkt nicht auf der Geraden.

💡Dieses überprüfen, ob ein Punkte auf einer Geraden liegt oder nicht, nennt man Punktprobe. Eine Punktprobe kann auch dazu dienen, rechnerisch Ergebnisse zu überprüfen. Behalte das immer im Hinterkopf, falls du ein Ergebnis überprüfen möchtest!

Wertepaare und fehlende Koordinaten

Ein Wertepaar ist immer wie folgt aufgebaut (x,y). Wir haben bereits gelernt, dass in linearen Zuordnungen jedem x genau ein y zugeordnet werden kann. Wenn wir eine Funktionsgleichung gegeben haben und eine der Koordinaten kennen, können wir diese in die Gleichung einsetzen und umformen.

Aufgabe Nr. 4

Die Funktion f(x)=3x+2 ist gegeben.

a) Bestimme den Punkt P(5|y), der auf f liegt.

b) Bestimme den Punkt Q(x|7), der auf f liegt.

2=Lösung aufklappen

Weitere Übungen findest du hier: https://learningapps.org/watch?app=pz6auqgia20

Parameter m und b

GeoGebra Applet

Aufgabe Nr. 1

Bewege den blauben Schieberegler für m und notiere deine Beobachtungen im Heft:

a) In welchem Bereich für m sieht der Graph im Bild ungefähr so [\] aus?

b) In welchem Bereich für m sieht der Graph im Bild ungefähr so [/] aus?

c) Was passiert, wenn du m=0 einstellst? Wie sieht der Graph aus?

a) Wenn der Graph eine negative Steitung hat, fällt er. Er sieht also für m<0 ungefähr so [ \ ] aus.

b) Wenn der Graph eine positive Steigung hat, steigt er. Er sieht dann also für m>0 ungefähr so [ / ] aus.

c) Wenn m=0 ist, dann verläuft der Graph ohne Steigung, er sieht aus wie die x-Achse, aber auf unterschiedlicher Höhe. Er ist also eine Paralle zur x-Achse.

Aufgabe Nr. 2

Lasse nun den blauen Schieberegler fest, verändere den Wert von b über den roten Schieberegler.

a) Was passiert mit dem Graphen? Beobachte den Punkt B und die Funktionsgleichung genau.

b) Wann verläuft der Graph durch den Ursprung (0;0)?

a) Der Graph verändert für festes m seine Form nicht. Er wird lediglich nach oben oder unten verschoben. Man kann beobachten, dass der Punkt B immer auf der y-Achse liegt und seine y-Koordinate entspricht dem eingestellten Wert für b. Außerdem ist dieser Punkt B genau der, an dem die Funktion die y-Achse schneidet.

b) Da ich in a) festgestellt habe, dass der Graph an b=y die y-Achse schneidet, muss b=0 sein, damit die Funktion die y-Achse in y=0, also dem Ursprung, schneidet. Die x-Koordinate ist bei dem Schnittpunkt mit der y-Achse immer 0, weil diese ja nur Punkt von der Form (0|y) hat.

Aufgabe Nr. 3

a) Wie verändert sich das blaue Dreieck, wenn du die Schieberegler einzeln betätigst?

b) Was passiert mit dem Punkt B, wenn du m veränderst? Was, wenn du b veränderst?

Notiere nun deine Vermutung, wofür die Parameter m und b stehen

a) Wenn ich den Schieberegler für b betätige und m nicht, verändert sich das blaue Dreieck nicht. Es befindet sich nur auf einer anderen Höhe, obwohl der rechte Schenkel, immer die gleiche Länge hat. Wenn ich b fest lasse und nur m verändere, dann verändert sich das blaue Dreieck. Für m<0 liegt das Dreieck quasi oben auf dem Graphen und wird größer, je kleiner m wird. Für m>0 hängt das Dreieck quasi unten am Graphen dran und wird größer, je großer m wird. Der Wert, der für m eingestellt ist, enspricht dem Wert, der am beschrifteten Schenkel abzulesen ist.

b) Wenn ich m verändere, den Regler für b aber nicht verschiebe, dann passiert mit dem Punkt B nichts. Wenn ich aber andersherum m fest lasse und b verändere, dann verändert sich auch der Punkt B. Der eingestellte Wert von b entspricht der y-Koordinate des Punktes B, wobei B der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist.

b nennt man den y-Achsenabschnitt, da dieser Wert der y-Koordinate des Schnittpunktes mit der y-Achse ist, wobei die x-Koordinate immer 0 ist.

m beschreibt die Steigung einer Funktion, also wie steil der Graph ist. Je größer m (für m>0) ist, desto steiler steigt der Graph. Je kleiner m ist (für m<0), desto steiler fällt der Graph. Für betragsmäßig (also der reine Wert von m ohne Vorzeichen) kleine Werte steigt oder fällt der Graph flacher.

Steigung und y-Achsenabschnitt

Bedeutung der Parameter m und b

Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet: f(x)=mx+b bzw. y=mx+b.

m steht dabei für die Steigung:

Wenn m<0 ist, fällt der Graph, er sieht also ungefähr so \ aus.

Wenn m>0 ist, steigt der Graph, er sieht also ungefähr so / aus.

Wenn m=0, dann ist der Graph eine Waagerechte, Parallele zur y-Achse.

b ist der y-Achsenabschnitt, also der Punkt an dem der Graph f die y-Achse schneidet.

Aufgabe Aufgabe 1

In welchem Bild ist m positiv und in welchem Bild ist m negativ? Schreibe deine Antwort mit Begründung in dein Heft.

In Bild 1) ist m positiv, da der Graph steigt.

in Bild 2) ist m negativ, da der Graph fällt.

Das Steigungsdreieck

Aufgabe Nr. 1

Stell dir vor, der Graph stellt eine schiefe Ebene dar. Nun sollen daraus rechtwinklige Treppenstufen entstehen, wobei eine Stufe eine LE lang sein soll.

a) Zeichne bei beiden Graphen die Treppenstufen ein.

b) Beschreibe die Unterschiede der beiden Treppenstufen.

Graphen zu Aufgabe Nr. 1

Benutze die Adjektive: flach – steil – höher – niedriger

Die Treppenstufe aus Bild 1 sind steiler und höher als die Treppenstufen aus Bild 2. Diese sind flacher zum Gehen.

💡Zur Info:

Ein Steigungsdreieck kannst du in einem Graphen innerhalb eines Koordinatensystems einzeichnen.

💡Zur Info: Ein Steigungsdreieck kannst du in einem Graphen innerhalb eines Koordinatensystems einzeichnen.

Das Steigungsdreieck ist dafür da, dass du m ganz einfach ablesen kannst. Dafür gibt es nämlich eine feste Regel, die es dir möglich macht, m, also die Steigung, immer von einer linearen Funktion abzulesen.

Um ein Steigungsdreieck einzeichnen zu können, suchst dir zwei Punkte auf dem Graphen, die einfach abzulesen sind. Trotzdem ist es egal, welche Punkte du dir aussuchst. Hauptsache: Sie liegen auf dem Funktionsgraphen.

In dem Beispiel (1) sind die Punkte Q1 (0 | 1) und Q2 (1| 2) eingezeichnet. Du gehst nun von Q1 1 LE nach rechts 1 LE nach rechts und danach eine LE nach oben 1 LE nach oben. Daraus entsteht ein rechtwinkliges Dreieck.

(!) Wichtig: Es muss immer ein den Graphen wieder Dreieck entstehen.

Du kannst dir merken, dass du immer eine LE nach rechts gehen musst. Dann geht das Dreieck so weit nach oben, bis du den Graphen wieder berührst.

m ist also in diesem Fall: $\left ( \frac{1}{1} \right )$ = 1

Aufgabe Nr. 2

Probiere nun selbst, die Steigung des Graphen herauszufinden, indem du das Steigungsdreieck nutzt.

Orientiere dich an dem Beispiel (1).

Graph zu Nr. 2

Die Steigung beträgt 3, also m=3.

Aufgabe ⭐

Was fällt dir an diesem Graphen auf?

Zeichne ein Steigungsdreieck.

Kannst du die Steigung angeben?

Graph zu ⭐

In diesem Steigungsdreieck, geht man nicht nur 1 LE nach rechts, sondern 3 LE nach rechts 3 LE nach rechts und eine LE nach oben eine LE nach oben. Würde man nur eine LE nach rechts gehen, wäre es nicht so leicht, die Steigung abzulesen, sobald man versucht, nach oben, bis zum Graphen zu gehen. Deswegen versucht man, das optimalste Dreieck zu finden. Dadurch beträgt m = $\left ( \frac{1}{3} \right )$.

Aufgabe Nr. 3

Versuche nun, m mit Hilfe des Steigungsdreiecks herauszufinden, wobei m negativ ist.

Graph zu Nr. 3

💡Tipp: Das Steigungsdreieck muss nun oberhalb des Graphen liegen.

m ist in diesem Fall negativ und. Das bedeutet m=$-\left ( \frac{5}{4} \right )$.

Von der Funktionsgleichung zum Funktionsgraphen

Probiere dich aus!

Aufgabe Nr. 1

Zeichne die Funktion f(x)= 2x + 1 nun mit deinem Wissen zum Steigungsdreieck ein.

Dein Graph sollte so aussehen:

Aufgabe Nr. 2 🍽️Rezept

Bearbeite das Learning-Apps. Dadurch erhältst du ein Rezept zum Zeichnen linearer Funktionen

Scanne den linken QR-Code, um eine Version mit Unterstützung zu bearbeiten oder den rechten, um eine Version ohne Hilfen zu bearbeiten.

Learning-Apps mit Unterstützung

Learning-Apps ohne Hilfe

Aufgabe Nr. 3

Zeichne nun mit diesem Vorgehen, folgende lineare Funktionsgraphen.

a) $f(x)=-\left ( \frac{1}{4} \right )x+5$

b) $g(x)=-x+3$

Funktionsgleichung aufstellen

Funktionsgleichung linearer Funktionen

Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet: $f(x)=m\cdot x+b$ bzw. $y=m\cdot x+b$.

m steht dabei für die Steigung, b ist der y-Achsenabschnitt, also der Punkt an dem der Graph f die y-Achse schneidet.

Mit zwei Punkten

Aufgabe Nr. 1

Ermittle die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte P(-2|-1) und Q (-4|3) geht. a) Leo zeichnet die Punkte P(-2|-1) und Q(-4|3) in ein Koordinatensystem. Danach liest er die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b ab. Mache es wie Leo! Zeichne die lineare Funktion in dein Heft und bestimmte danach die Funktionsgleichung mit dem Wissen, das du bereits besitzt.

b) Klara rechnet: $m=\frac{3- (-1)}{(-4)-(-2)}=\frac{4}{-2}=-2$ P(4|-1) liegt auf der Geraden. Also kann der Punkt in die vorläufige Funktionsgleichung eingesetzt werden: $-1=-2\cdot4+b$ und es folgt: $7=b$. Die Funktionsgleichung lautet $y=-2+7$. Kannst du die Schritte von Klara erklären? Begründe in einzelnen Schritten.

c) Macht es einen Unterschied, wenn statt P nun Q eingesetzt wird?

d) Bestimme mit der Methode von Klara die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte S(2|1) und T(8|-4) geht.

Überprüfe die Lösung durch eine Zeichnung.

a)

b) Klara Berechnet die Steigung m, indem sie die Koordinaten der Punkte einsetzt. IN den Zähler setzt sie die y-Koordinaten. Erst die y-Koordinate aus dem zweiten Punkt, dann wird davon die y-Koordinate aus dem ersten Punkt abgezogen. Im Nenner rechnet sie erst die x-Koordinate aus dem zweiten Punkt und dann wird davon die x-Koordinate aus dem ersten Punkt abgezogen. Damit erhält sie die Steigung m. Danach setzt sie den Punkt P in ihre vorläufige Funktionsgleichung ein, weil sie m bereits ermittelt hat und x und y aus P eingesetzt werden können. Damit kann sie den Parameter b berechnen. Nachdem sie dann den Parameter b berechnet hat, hat sie eine Funktionsgleichung, die durch die Punkte P und Q geht und dabei hat sie auch die Parameter m und b berechnet.

c) Es macht keinen Unterschied. Beide Punkte liegen nämlich auf der Geraden, weil die Gerade durch beide Punkte gehen soll. Deshalb kann man entweder Punkt P oder Punkt Q einsetzen.

d)

🏋🏼Übungszeit

Aufgabe Nr. 2

Bestimmte die Funktionsgleichung zu der Geraden, die durch die Punkte P(1,5|3) und Q(0,5|-6) verläuft.

Überprüfe dein Ergebnis zeichnerisch.

Aufgabe Nr. 3

Finde heraus, auf welcher Geraden die Punkte A(-3|-1), B(-0,5|0) und C(4|1,8) liegen. 1. Löse die Aufgabe erst rechnerisch und überprüfe dein Ergebnis zeichnerisch.

2. Versuche als nächstes, die lineare Funktion auf GeoGebra zu erstellen. Dadurch kannst du erkennen, ob du deinen Graphen richtig gezeichnet hast.

Klicke auf den Link, um die lineare Funktion bei GeoGebra zu erstellen: https://www.geogebra.org/classic#graphing

Du bist dir noch nicht sicher und es fällt dir schwer, solche Aufgaben zu berechnen?

Dann hast du hier nochmal weitere Übungsaufgaben!

Aufgabe Nr. 4

Der Graph der linearen Funktion g geht durch die Punkte P (2 | 0) und Q (0 | 3).

a) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden g.

b) Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte R (6 | - 6) und S (-2 | 3) auf der Geraden g liegen.

Aufgabe Nr. 5

a) Bestimmte rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden f, die durch die Punkte P(5|3) und Q(-3|-9) geht.

b) Versuche, die lineare Funktion auf GeoGebra zu erstellen. Dadurch kannst du erkennen, ob du deinen Graphen richtig gezeichnet hast.

Klicke auf den Link, um die lineare Funktion bei GeoGebra zu erstellen: https://www.geogebra.org/classic#graphing

Mit m und einem Punkt

Nun hast du es schon geschafft, eine Funktionsgleichung aus zwei Punkten zu ermitteln, das war der schwere Teil. Nun könnt ihr das Wissen des vorherigen Abschnitts anwenden.

Aufgabe Nr.1

a) Die Funktion f hat Steigung m=3 und geht durch den Punkt P(2,7). Stelle die zugehörige Funktionsgleichung auf.

Sieh dir an, wie du vorgegangen bist, wenn du eine Funktionsgleichung aus zwei Punkten aufgestellt hast. Setze bei dem Schritt an, an dem du m bereits kanntest und mit einem der Punkte noch den y-Achsenabschnitt bestimmst.

Aufgabe Nr.2

Eine Sonnenblume wächst 2cm pro Tag und ist am zweiten Tag schon 4cm groß. Wie lautet die Funktionsgleichung, wobei x die Anzahl der Tage und y die Größe der Sonnenblume in cm ist.

Aufgabe für Schnelle

Der Grap von g hat die Funktionsgleichung g(x)=-x+4

Gib die Funktionsgleichung des Graphen zu s an, der parallel zu g verläuft und durch den Punk S(0,1) geht.

Lineare Funktionen zeichnen

Die Bedeutung der Parameter in der Funktionsgleichung kennst du nun. Aber wie kannst du eine lineare Funktion zeichnen und wie kann man eine lineare Funktion von einer Zeichnung ablesen? Das lernst du jetzt!

Anwendungsaufgaben

Jetzt hast du die theoretischen Basics schon drauf!

Hier kannst du üben, ob du dein mathematisches Wissen auch auf kontextbezogene Aufgabenstellungen übertragen kannst.

Aufgabe 1 🚕

Ein Taxiunternehmen hat sich darauf spezialisiert, einen Shuttle-Service für Jugendliche aus dem Umland von Gießen in die Innenstadt, zu organisieren. Das Unternehmen wirbt damit, super günstige Preise für die Jugendlichen anzubieten. Aber was bedeutet das für dich, wenn du 13km von Gießen entfernt wohnst, das wollen wir nun rausfinden. Der Preis in € (y) in Abhängigkeit von den gefahrenen Kilometern (x), lässt sich durch die Funktion p(x)=x+5 beschreiben.

a) Zeichne den Graphen zur Preisfunktion in dein Heft, denke daran, die Achsen korrekt zu beschriften: Wofür steht x, wofür y? Und in welcher Einheit?

Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man eine lineare Funktion zeichnet, lies nochmal im Rezept unter Lineare Funktionen zeichnen nach.

b) Beschreibe die Funktion im Sachkontext. Gehe dabei besonders auf die Bedeutung von m und b ein.

Der Sachkontext ist hier die Taxifahrt. Wofür steht die Steigung m und was bedeutet der y-Achsenabschnitt in dieser Situation? Verliere bei der Beantwortung nie aus den Augen, dass es sich hier um eine Anwendungssituation mit realer Bedeutung handelt.

c) Wie viel musst du für die Heimfahrt bezahlen, wenn du im 13km entfernten Lollar wohnst? Löse grafisch (mithilfe von a)) und rechnerisch.

Erinnerst du dich noch, wie du die fehlende Koordinaten berechnet hast? Diese Strategie brauchst du hier. Welche Koordinate ist gegeben, welche fehlt?

Aufgabe 2 🏃🏾🏃🏼‍♀️

Die beiden Freunde Lotti und Ben gehen beide am Samstag in München joggen. Sie wollen sich während des Joggen treffen und gemeinsam eine Kugel Eis essen. Beide starten jeweils bei sich zuhause und wohnen 12 km voneinander entfernt.

Lotti startet um 8:00 Uhr im Nord und joggt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 8 km/h Richtung Süden.

Ben startet im Süden und läuft Richtung Norden. Er läuft in einer konstanten Geschwindigkeit von 7 km/h.

Wir messen die Zeit in Stunden nach dem Start um 8:00 Uhr.

Die Strecke  wird in Kilometern.

a) Bestimme für Lotti und Ben jeweils eine einzelne Funktionsgleichung.

$s(t)=m⋅t+b$

Beachte, dass die beiden in entgegengesetzte Richtungen laufen und müssen zusammen eine Strecke von 12 km zurücklegen, um sich zu treffen.

b) Zeichne beide Funktionen in ein Koordinatensystem. Achte auf die Achsenbeschriftung.

Wofür steht x?

Wofür steht y?

c) Wie lange braucht Ben, um die Strecke, die Lotti nach 20 Minuten zurückgelegt hat, zu laufen?

Berechne zuerst t.

Beachte die Einheit!

d) Bestimme den Treffpunkt der beiden zeichnerisch. Beantworte folgende Fragen.

Hilfreiche Fragen

Wie lange müssen Lotti und Ben laufen, um sich zu treffen?

Welche Strecke haben die beiden jeweils bis zu diesem Zeitpunkt zurückgelegt?