https://unterrichten.zum.de/api.php?action=feedcontributions&user=Florian+Ferstl&feedformat=atomZUM-Unterrichten - Benutzerbeiträge [de]2024-03-29T14:26:33ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.39.6https://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen&diff=96244Nullstellen bestimmen2019-07-10T11:06:07Z<p>Florian Ferstl: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
{{Box|Lernpfad|<br />
===In diesem Lernpfad===<br />
*lernst du, wie du deine Kenntnisse zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen nutzen kannst, um ganzrationale Gleichungen höheren Grades lösen zu können<br />
*wiederholst, warum Ausklammern immer sinnvoll ist und wann man Ausklammern kann<br />
*lernst du, wie man mit Hilfe der Substitution Gleichungen löst<br />
*lernst du, wie man ganzrationale Funktionsterme faktorisieren kann<br />
*lernst du, wie man mit Hilfe der Polynomdivision Gleichungen löst<br />
*lernst du, wie man einzelne, ganzzahlige Lösungen "erraten" kann<br />
<br />
===Das solltest du bereits können===<br />
*Verständnis dafür, was Nullstellen sind<br />
*Lineare Gleichungen lösen können<br />
*Quadratische Gleichungen Lösen können (Ausklammern, Wurzelziehen, Mitternachtsformel)<br />
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]<br />
|Lernpfad}}<br />
<br />
'''Nullstellen bestimmen'''<br />
<br />
0. [[Nullstellen bestimmen/0. Überblick]] <br /><br />
1. [[Nullstellen bestimmen/1. Ausklammern]]<br /><br />
2. [[Nullstellen bestimmen/2. Faktorisierung von Polynomen und Polynomdivision]]<br /><br />
3. [[Nullstellen bestimmen/3. Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen]]<br /><br />
4. [[Nullstellen bestimmen/4. Erraten von Nullstellen]]<br /><br />
5. [[Nullstellen bestimmen/5. Substitution]]<br /><br />
<br />
<br />
<br><br />
==Hefteintrag==<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Hier findest du das Skript zum Lernpfad, komplett als PDF-Datei. Die einzelnen Arbeitsblätter sind in den jeweiligen Stationen noch einmal verlinkt'''<br><br><br />
[[Datei:Skript_Lernpfad.pdf|300px|Lerninhalte zu Polynomfunktionen]]<br />
|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
<br><br><br />
<br />
<br />
===Erklärung der verwendeten Symbole===<br />
Damit du den Lernpfad ohne Probleme durchführen kannst ist es wichtig, <br><br />
dass du die verwendeten Symbole und Grafiken kennst und weißt, was sie für dich bedeuten.<br />
<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Merke|Hierbei handelt es sich um einen Merksatz. '''Merksätze''' musst du grundsätzlich '''immer in dein Schulheft übertragen''', inklusive einer farbigen Umrahmung.|Merksatz}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Aufgabe|Immer wenn du diesen Kasten mit dem Stiftsymbol siehst, gibt es eine '''Aufgabe schriftlich im Schulheft zu bearbeiten!'''|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung|Übungsaufgaben werden entweder '''online oder im Übungsheft''' bearbeitet. Genaueres steht jeweils mit dabei.|Üben}}<br />
<br />
<br><br />
{|<br />
|Vergiss nicht, dass du die Zeit im Auge behältst. <br>Oberstes Ziel ist zwar, dass du alles verstehst, trotzdem solltest du nicht trödeln!<br />
|[[Datei:Time-1019921 1920.jpg|180px|Zeitwächter]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
<big>Nun kann es aber endlich losgehen! Viel Erfolg!</big><br />
<br />
<br />
'''Beginne doch gleich mit der ersten Station!'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Hier geht es los|weiterlink=/0. Überblick}}<br />
<br />
<br />
{{Autoren|Florian Ferstl}}<br />
<br />
[[Kategorie:Nullstellen bestimmen|!]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:Mathematik-digital]]<br />
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Lernpfad]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen&diff=96243Nullstellen bestimmen2019-07-10T11:05:42Z<p>Florian Ferstl: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
{{Box|Lernpfad|<br />
===In diesem Lernpfad===<br />
*lernst du, wie du deine Kenntnisse zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen nutzen kannst, um ganzrationale Gleichungen höheren Grades lösen zu können<br />
*wiederholst, warum Ausklammern immer sinnvoll ist und wann man Ausklammern kann<br />
*lernst du, wie man mit Hilfe der Substitution Gleichungen löst<br />
*lernst du, wie man ganzrationale Funktionsterme faktorisieren kann<br />
*lernst du, wie man mit Hilfe der Polynomdivision Gleichungen löst<br />
*lernst du, wie man einzelne, ganzzahlige Lösungen "erraten" kann<br />
<br />
===Das solltest du bereits können===<br />
*Verständnis dafür, was Nullstellen sind<br />
*Lineare Gleichungen lösen können<br />
*Quadratische Gleichungen Lösen können (Ausklammern, Wurzelziehen, Mitternachtsformel)<br />
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]<br />
|Lernpfad}}<br />
<br />
'''Nullstellen bestimmen'''<br />
<br />
0. [[Nullstellen bestimmen/0. Überblick]]<br />
1. [[Nullstellen bestimmen/1. Ausklammern]]<br />
2. [[Nullstellen bestimmen/2. Faktorisierung von Polynomen und Polynomdivision]]<br />
3. [[Nullstellen bestimmen/3. Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen]]<br />
4. [[Nullstellen bestimmen/4. Erraten von Nullstellen]]<br />
5. [[Nullstellen bestimmen/5. Substitution]]<br /><br />
<br />
<br />
<br><br />
==Hefteintrag==<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Hier findest du das Skript zum Lernpfad, komplett als PDF-Datei. Die einzelnen Arbeitsblätter sind in den jeweiligen Stationen noch einmal verlinkt'''<br><br><br />
[[Datei:Skript_Lernpfad.pdf|300px|Lerninhalte zu Polynomfunktionen]]<br />
|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
<br><br><br />
<br />
<br />
===Erklärung der verwendeten Symbole===<br />
Damit du den Lernpfad ohne Probleme durchführen kannst ist es wichtig, <br><br />
dass du die verwendeten Symbole und Grafiken kennst und weißt, was sie für dich bedeuten.<br />
<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Merke|Hierbei handelt es sich um einen Merksatz. '''Merksätze''' musst du grundsätzlich '''immer in dein Schulheft übertragen''', inklusive einer farbigen Umrahmung.|Merksatz}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Aufgabe|Immer wenn du diesen Kasten mit dem Stiftsymbol siehst, gibt es eine '''Aufgabe schriftlich im Schulheft zu bearbeiten!'''|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung|Übungsaufgaben werden entweder '''online oder im Übungsheft''' bearbeitet. Genaueres steht jeweils mit dabei.|Üben}}<br />
<br />
<br><br />
{|<br />
|Vergiss nicht, dass du die Zeit im Auge behältst. <br>Oberstes Ziel ist zwar, dass du alles verstehst, trotzdem solltest du nicht trödeln!<br />
|[[Datei:Time-1019921 1920.jpg|180px|Zeitwächter]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
<big>Nun kann es aber endlich losgehen! Viel Erfolg!</big><br />
<br />
<br />
'''Beginne doch gleich mit der ersten Station!'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Hier geht es los|weiterlink=/0. Überblick}}<br />
<br />
<br />
{{Autoren|Florian Ferstl}}<br />
<br />
[[Kategorie:Nullstellen bestimmen|!]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:Mathematik-digital]]<br />
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Lernpfad]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/2._Faktorisierung_von_Polynomen_und_Polynomdivision&diff=96242Nullstellen bestimmen/2. Faktorisierung von Polynomen und Polynomdivision2019-07-10T10:43:33Z<p>Florian Ferstl: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
__NOTOC__<br />
<br />
==Station 2: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision==<br />
==Worum geht's?==<br />
Wie du schon in Station 1 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.<br />
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.<br />
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)<br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
==Theorie - <u>'''intensiv studieren!'''</u>==<br />
Studiere im Skript den Abschnitt 2.1 und 2.2 <br />
Diese enthalten alle wichtigen Informationen zusammengefasst.<br />
Studiere den Text intensiv und versuche <u>'''alles'''</u> <u></u>möglichst gut <u>'''zu verstehen'''</u>. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!<br />
<br />
[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|thumb]]<br />
<br><br />
<br />
==Verstanden, worum es geht?==<br />
<br />
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)<br />
<br />
<br><br />
<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
<br><br><br />
<br />
In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)<br />
<br><br><br />
<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
<br><br><br />
<br />
==Übung macht den Meister==<br />
<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x<sub>1</sub> und x<sub>2</sub> der Funktion und gib die faktorisierte Form an.<br />
<br><br />
<br> <br />
<br />
<math>f(x)=x^2-4x+3</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=0,5x(x-4)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br><br />
<math>f(x)=2x^2+4x-6</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=2(x+3)(x-1)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!<br />
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br><br />
<br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2<br />
<br />
==Polynomdivision==<br />
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren.<br><br />
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.<br />
<br><br><br><br />
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|K8K4_gowb4E|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br><br><br />
Nimm im Skript Kapitel "2.3 Polynomdivision" zur Hand und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.<br />
<br><br />
<br />
{|<br />
|[[Datei:Polynomdivision.png|500px|gerahmt]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br><br><br><br />
<br />
==Teste dich!==<br />
<br />
{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch.<br><br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5<br />
<br />
<br><br />
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:A1 Lösung Polynomdivision.png|500px|A1 Lösung Polynomdivision]]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>2x+5</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-x^2-3x+1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x^2+2x-1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(x^3+x^2-8x+4):(x-2)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^2+3x-2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
'''<br />
für Experten'''<br><br />
<math>(x^5-1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^4+x^3+x^2+1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-8x^2+x+2):(x^2-2x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x+2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
|Üben}}<br />
<br />
<br><br />
<br><br />
==Abschlussübung==<br />
<br />
{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.<br />
<br><br />
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist.<br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|Üben}}<br />
<br><br />
<br><br />
<br />
'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''<br />
<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../3. Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen}}<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Interaktive Übung]]<br />
[[Kategorie:LearningApps]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/Vielfachheit_von_Nullstellen_am_Graph_erkennen&diff=96241Nullstellen bestimmen/Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen2019-07-10T10:42:40Z<p>Florian Ferstl: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
__KEIN_INHALTSVERZEICHNIS__<br />
<br />
==Station 3: Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen==<br />
<br />
==Worum geht's?==<br />
Du hast in 2.2 bereits erfahren, dass eine Nullstelle einfach, doppelt, dreifach, ... sein kann. <br />
Man nennt das die '''Vielfachheit der Nullstelle'''<br />
Wie du die Vielfachheit einer Nullstelle am Funkionsgraph erkennen kannst, lernst du hier!<br />
<br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
<br />
{{2Spalten|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe]]|{{#evt:<br />
service=youtube<br />
|id=https://www.youtube.com/watch?v=-CcJxa7rYtE<br />
|alignment=left<br />
}}}}<br />
<br><br />
<br />
<br />
==Hefteintrag==<br />
Erstelle selbständig einen Hefteintrag zu den Lerninhalten, die dir im Video vorgestellt wurden. Bei Bedarf kannst du dich natürlich auch noch zusätzlich im Internet informieren.<br />
[[Datei:Mehrfache Nullstellen.png|mini]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''Weiter '''<br />
<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Interaktive Übung]]<br />
[[Kategorie:LearningApps]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/Vielfachheit_von_Nullstellen_am_Graph_erkennen&diff=96240Nullstellen bestimmen/Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen2019-07-10T10:41:22Z<p>Florian Ferstl: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
__KEIN_INHALTSVERZEICHNIS__<br />
<br />
==Station 3: Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen==<br />
<br />
==Worum geht's?==<br />
Du hast in 2.2 bereits erfahren, dass eine Nullstelle einfach, doppelt, dreifach, ... sein kann. <br />
Man nennt das die '''Vielfachheit der Nullstelle'''<br />
Wie du die Vielfachheit einer Nullstelle am Funkionsgraph erkennen kannst, lernst du hier!<br />
<br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
<br />
{{2Spalten|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe]]|{{#evt:<br />
service=youtube<br />
|id=https://www.youtube.com/watch?v=-CcJxa7rYtE<br />
|alignment=left<br />
}}}}<br />
<br><br />
<br />
<br />
==Hefteintrag==<br />
Erstelle selbständig einen Hefteintrag zu den Lerninhalten, die dir im Video vorgestellt wurden. Bei Bedarf kannst du dich natürlich auch noch zusätzlich im Internet informieren.<br />
[[Datei:Mehrfache Nullstellen.png|mini]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''Weiter '''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../5. Substitution}}<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Interaktive Übung]]<br />
[[Kategorie:LearningApps]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/Vielfachheit_von_Nullstellen_am_Graph_erkennen&diff=96239Nullstellen bestimmen/Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen2019-07-09T06:42:29Z<p>Florian Ferstl: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
__KEIN_INHALTSVERZEICHNIS__<br />
<br />
==Station 3: Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen==<br />
<br />
==Worum geht's?==<br />
Du hast in 2.2 bereits erfahren, dass eine Nullstelle einfach, doppelt, dreifach, ... sein kann. <br />
Man nennt das die '''Vielfachheit der Nullstelle'''<br />
Wie du die Vielfachheit einer Nullstelle am Funkionsgraph erkennen kannst, lernst du hier!<br />
<br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
<br />
{{2Spalten|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe]]|{{#evt:<br />
service=youtube<br />
|id=https://www.youtube.com/watch?v=-CcJxa7rYtE<br />
|alignment=left<br />
}}}}<br />
<br><br />
<br />
<br />
<br />
==Hefteintrag==<br />
Erstelle selbständig einen Hefteintrag zu den Lerninhalten, die dir im Video vorgestellt wurden. Bei Bedarf kannst du dich natürlich auch noch zusätzlich im Internet informieren.<br />
[[Datei:Mehrfache Nullstellen.png|mini]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Verstanden, worum es geht?==<br />
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Erraten drauf hast... ;) <br />
<br />
{{LearningApp|app=pjfpenrwt18|width=70%|height=500px}}<br />
<br />
<br />
==Teste dich!==<br />
<br />
{{Box|Übung|Errate die erste Nullstelle und berechne alle weiteren mit Polynomdivision. Gib den Term vollständig faktorisiert an.<br><br />
<br />
<br><br />
<math>f(x)=x^3-3x^2+3x-1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Es gibt eine dreifache Nullstelle bei <math>x=1</math>; <math>f(x)=(x-1)^3</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br><br />
<math>f(x)=x^3+x^2-4x-4</math><br />
{{Lösung versteckt|Nullstellen bei <math>x_1=2; x_2=-2; x_3=-1</math>; <math>f(x)=(x+2)(x+1)(x-2)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Üben<br />
}}<br />
<br />
<br />
'''Weiter '''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../5. Substitution}}<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Interaktive Übung]]<br />
[[Kategorie:LearningApps]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Datei:Mehrfache_Nullstellen.png&diff=96238Datei:Mehrfache Nullstellen.png2019-07-09T06:37:45Z<p>Florian Ferstl: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = AB zum Erkennen der Vielfachheit von Nullstellen am Graph<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Florian Ferstl|Florian Ferstl]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/Vielfachheit_von_Nullstellen_am_Graph_erkennen&diff=96237Nullstellen bestimmen/Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen2019-07-09T06:32:25Z<p>Florian Ferstl: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
__KEIN_INHALTSVERZEICHNIS__<br />
<br />
==Station 3: Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen==<br />
<br />
==Worum geht's?==<br />
Du hast in 2.2 bereits erfahren, dass eine Nullstelle einfach, doppelt, dreifach, ... sein kann. <br />
Man nennt das die '''Vielfachheit der Nullstelle'''<br />
Wie du die Vielfachheit einer Nullstelle am Funkionsgraph erkennen kannst, lernst du hier!<br />
<br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
<br />
{{2Spalten|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe]]|{{#evt:<br />
service=youtube<br />
|id=https://www.youtube.com/watch?v=-CcJxa7rYtE<br />
|alignment=left<br />
}}}}<br />
<br><br />
<br />
<br />
<br />
==Hefteintrag==<br />
Erstelle selbständig einen Hefteintrag zu den Lerninhalten, die dir im Video vorgestellt wurden. Bei Bedarf kannst du dich natürlich auch noch zusätzlich im Internet informieren.<br />
{|<br />
|[[Datei:HE_Erraten_Nullstellen.png|700x700px|HE Erraten Nullstellen]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
==Verstanden, worum es geht?==<br />
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Erraten drauf hast... ;) <br />
<br />
{{LearningApp|app=pjfpenrwt18|width=70%|height=500px}}<br />
<br />
<br />
==Teste dich!==<br />
<br />
{{Box|Übung|Errate die erste Nullstelle und berechne alle weiteren mit Polynomdivision. Gib den Term vollständig faktorisiert an.<br><br />
<br />
<br><br />
<math>f(x)=x^3-3x^2+3x-1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Es gibt eine dreifache Nullstelle bei <math>x=1</math>; <math>f(x)=(x-1)^3</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br><br />
<math>f(x)=x^3+x^2-4x-4</math><br />
{{Lösung versteckt|Nullstellen bei <math>x_1=2; x_2=-2; x_3=-1</math>; <math>f(x)=(x+2)(x+1)(x-2)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Üben<br />
}}<br />
<br />
<br />
'''Pflichtprogramm erfolgreich absolviert. Gratulation!'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../5. Substitution}}<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Interaktive Übung]]<br />
[[Kategorie:LearningApps]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/Vielfachheit_von_Nullstellen_am_Graph_erkennen&diff=96236Nullstellen bestimmen/Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen2019-07-09T06:31:54Z<p>Florian Ferstl: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
__KEIN_INHALTSVERZEICHNIS__<br />
<br />
==Station 3: Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen==<br />
<br />
==Worum geht's?==<br />
Du hast in 2.2 bereits erfahren, dass eine Nullstelle einfach, doppelt, dreifach, ... sein kann. <br />
Man nennt das die '''Vielfachheit der Nullstelle'''<br />
Wie du die Vielfachheit einer Nullstelle am Funkionsgraph erkennen kannst, lernst du hier!<br />
<br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
<br />
{{2Spalten|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe]]|{{#ev:youtube.com/watch?v=-CcJxa7rYtE|460|center}}}}<br />
[youtube]-CcJxa7rYtE[/youtube]<br />
<br />
{{#evt:<br />
service=youtube<br />
|id=https://www.youtube.com/watch?v=-CcJxa7rYtE<br />
|alignment=left<br />
}}<br />
<br />
==Hefteintrag==<br />
Erstelle selbständig einen Hefteintrag zu den Lerninhalten, die dir im Video vorgestellt wurden. Bei Bedarf kannst du dich natürlich auch noch zusätzlich im Internet informieren.<br />
{|<br />
|[[Datei:HE_Erraten_Nullstellen.png|700x700px|HE Erraten Nullstellen]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
==Verstanden, worum es geht?==<br />
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Erraten drauf hast... ;) <br />
<br />
{{LearningApp|app=pjfpenrwt18|width=70%|height=500px}}<br />
<br />
<br />
==Teste dich!==<br />
<br />
{{Box|Übung|Errate die erste Nullstelle und berechne alle weiteren mit Polynomdivision. Gib den Term vollständig faktorisiert an.<br><br />
<br />
<br><br />
<math>f(x)=x^3-3x^2+3x-1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Es gibt eine dreifache Nullstelle bei <math>x=1</math>; <math>f(x)=(x-1)^3</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br><br />
<math>f(x)=x^3+x^2-4x-4</math><br />
{{Lösung versteckt|Nullstellen bei <math>x_1=2; x_2=-2; x_3=-1</math>; <math>f(x)=(x+2)(x+1)(x-2)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Üben<br />
}}<br />
<br />
<br />
'''Pflichtprogramm erfolgreich absolviert. Gratulation!'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../5. Substitution}}<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Interaktive Übung]]<br />
[[Kategorie:LearningApps]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/Vielfachheit_von_Nullstellen_am_Graph_erkennen&diff=96235Nullstellen bestimmen/Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen2019-07-09T06:30:24Z<p>Florian Ferstl: Neue Station</p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
__KEIN_INHALTSVERZEICHNIS__<br />
<br />
== Station 3: Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen ==<br />
<br />
== Worum geht's? ==<br />
Du hast in 2.2 bereits erfahren, dass eine Nullstelle einfach, doppelt, dreifach, ... sein kann. <br />
Man nennt das die '''Vielfachheit der Nullstelle'''<br />
Wie du die Vielfachheit einer Nullstelle am Funkionsgraph erkennen kannst, lernst du hier!<br />
<br />
<br />
== Informiere dich! ==<br />
<br />
{{2Spalten|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe]]|{{#ev:youtube.com/watch?v=-CcJxa7rYtE|460|center}}}}<br />
[youtube]-CcJxa7rYtE[/youtube]<br />
<br />
== Hefteintrag ==<br />
Erstelle selbständig einen Hefteintrag zu den Lerninhalten, die dir im Video vorgestellt wurden. Bei Bedarf kannst du dich natürlich auch noch zusätzlich im Internet informieren.<br />
{|<br />
|[[Datei:HE_Erraten_Nullstellen.png|700x700px|HE Erraten Nullstellen]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
== Verstanden, worum es geht? ==<br />
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Erraten drauf hast... ;) <br />
<br />
{{LearningApp|app=pjfpenrwt18|width=70%|height=500px}}<br />
<br />
<br />
== Teste dich! ==<br />
<br />
{{Box|Übung|Errate die erste Nullstelle und berechne alle weiteren mit Polynomdivision. Gib den Term vollständig faktorisiert an.<br><br />
<br />
<br><br />
<math>f(x)=x^3-3x^2+3x-1</math><br />
{{Lösung versteckt|1=Es gibt eine dreifache Nullstelle bei <math>x=1</math>; <math>f(x)=(x-1)^3</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br><br />
<math>f(x)=x^3+x^2-4x-4</math><br />
{{Lösung versteckt|Nullstellen bei <math>x_1=2; x_2=-2; x_3=-1</math>; <math>f(x)=(x+2)(x+1)(x-2)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Üben<br />
}}<br />
<br />
<br />
'''Pflichtprogramm erfolgreich absolviert. Gratulation!'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../5. Substitution}}<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Interaktive Übung]]<br />
[[Kategorie:LearningApps]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/2._Faktorisierung_von_Polynomen_und_Polynomdivision&diff=96234Nullstellen bestimmen/2. Faktorisierung von Polynomen und Polynomdivision2019-07-09T06:21:46Z<p>Florian Ferstl: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
__NOTOC__<br />
<br />
==Station 2: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision==<br />
==Worum geht's?==<br />
Wie du schon in Station 1 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.<br />
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.<br />
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)<br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
==Theorie - <u>'''intensiv studieren!'''</u>==<br />
Studiere im Skript den Abschnitt 2.1 und 2.2 <br />
Diese enthalten alle wichtigen Informationen zusammengefasst.<br />
Studiere den Text intensiv und versuche <u>'''alles'''</u> <u></u>möglichst gut <u>'''zu verstehen'''</u>. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!<br />
<br />
[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|thumb]]<br />
<br><br />
<br />
==Verstanden, worum es geht?==<br />
<br />
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)<br />
<br />
<br><br />
<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
<br><br><br />
<br />
In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)<br />
<br><br><br />
<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
<br><br><br />
<br />
==Übung macht den Meister==<br />
<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x<sub>1</sub> und x<sub>2</sub> der Funktion und gib die faktorisierte Form an.<br />
<br><br />
<br> <br />
<br />
<math>f(x)=x^2-4x+3</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=0,5x(x-4)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br><br />
<math>f(x)=2x^2+4x-6</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=2(x+3)(x-1)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!<br />
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br><br />
<br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2<br />
<br />
==Polynomdivision==<br />
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren.<br><br />
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.<br />
<br><br><br><br />
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|K8K4_gowb4E|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br><br><br />
Nimm im Skript Kapitel "2.3 Polynomdivision" zur Hand und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.<br />
<br><br />
<br />
{|<br />
|[[Datei:Polynomdivision.png|500px|gerahmt]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br><br><br><br />
<br />
==Teste dich!==<br />
<br />
{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch.<br><br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5<br />
<br />
<br><br />
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:A1 Lösung Polynomdivision.png|500px|A1 Lösung Polynomdivision]]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>2x+5</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-x^2-3x+1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x^2+2x-1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(x^3+x^2-8x+4):(x-2)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^2+3x-2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
'''<br />
für Experten'''<br><br />
<math>(x^5-1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^4+x^3+x^2+1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-8x^2+x+2):(x^2-2x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x+2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
|Üben}}<br />
<br />
<br><br />
<br><br />
==Abschlussübung==<br />
<br />
{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.<br />
<br><br />
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist.<br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|Üben}}<br />
<br><br />
<br><br />
<br />
'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../3. Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen}}<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Interaktive Übung]]<br />
[[Kategorie:LearningApps]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/2._Faktorisierung_von_Polynomen_und_Polynomdivision&diff=96233Nullstellen bestimmen/2. Faktorisierung von Polynomen und Polynomdivision2019-07-09T06:20:43Z<p>Florian Ferstl: Neuer Seitenname</p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
__NOTOC__<br />
<br />
==Station 2: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision==<br />
==Worum geht's?==<br />
Wie du schon in Station 1 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.<br />
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.<br />
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)<br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
==Theorie - <u>'''intensiv studieren!'''</u>==<br />
Studiere im Skript den Abschnitt 2.1 und 2.2 <br />
Diese enthalten alle wichtigen Informationen zusammengefasst.<br />
Studiere den Text intensiv und versuche <u>'''alles'''</u> <u></u>möglichst gut <u>'''zu verstehen'''</u>. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!<br />
<br />
[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|thumb]]<br />
<br><br />
<br />
==Verstanden, worum es geht?==<br />
<br />
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)<br />
<br />
<br><br />
<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
<br><br><br />
<br />
In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)<br />
<br><br><br />
<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
<br><br><br />
<br />
==Übung macht den Meister==<br />
<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x<sub>1</sub> und x<sub>2</sub> der Funktion und gib die faktorisierte Form an.<br />
<br><br />
<br> <br />
<br />
<math>f(x)=x^2-4x+3</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=0,5x(x-4)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br><br />
<math>f(x)=2x^2+4x-6</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=2(x+3)(x-1)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!<br />
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br><br />
<br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2<br />
<br />
==Polynomdivision==<br />
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren.<br><br />
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.<br />
<br><br><br><br />
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|K8K4_gowb4E|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br><br><br />
Nimm im Skript Kapitel "2.3 Polynomdivision" zur Hand und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.<br />
<br><br />
<br />
{|<br />
|[[Datei:Polynomdivision.png|500px|gerahmt]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br><br><br><br />
<br />
==Teste dich!==<br />
<br />
{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch.<br><br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5<br />
<br />
<br><br />
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:A1 Lösung Polynomdivision.png|500px|A1 Lösung Polynomdivision]]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>2x+5</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-x^2-3x+1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x^2+2x-1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(x^3+x^2-8x+4):(x-2)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^2+3x-2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
'''<br />
für Experten'''<br><br />
<math>(x^5-1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^4+x^3+x^2+1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-8x^2+x+2):(x^2-2x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x+2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
|Üben}}<br />
<br />
<br><br />
<br><br />
==Abschlussübung==<br />
<br />
{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.<br />
<br><br />
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist.<br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|Üben}}<br />
<br><br />
<br><br />
<br />
'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Interaktive Übung]]<br />
[[Kategorie:LearningApps]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/1._Ausklammern&diff=96232Nullstellen bestimmen/1. Ausklammern2019-07-09T06:19:12Z<p>Florian Ferstl: </p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
<br />
__NOTOC__<br />
<br />
==Station 1: Nullstellen bestimmen durch Ausklammern (Faktorisieren)==<br />
<br><br />
<br />
==Wiederholung - nur falls nötig...==<br />
Du solltest mit dem Prinzip des Ausklammerns gut vertraut sein. Falls nicht, schaue dir vorsichtshalber folgendes Video an.<br> <br />
<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]<br />
|{{#ev:youtube|N8F9qLsE_98|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br><br><br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
In diesem Video wird dir gezeigt, in welchen Fällen das Prinzip des Ausklammern möglich ist, und wie du damit im Anschluss die Nullstellen berechnen kannst.<br />
<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]<br />
|{{#ev:youtube|8xHaW2LePeo|460|center}}<br />
}}<br />
<br><br><br />
<br />
==Arbeitsblatt studieren==<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Lies dir im Skript den Abschnitt "1. Faktorisieren durch Ausklammern aufmerksam durch! Bearbeite den gestellten Arbeitsauftrag sauber und ordentlich!'''<br><br><br />
[[Datei:Ausklammern.png|300px|center|Hefteintrag Ausklammern|gerahmt]]|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br><br><br />
<br />
==Teste dich!==<br />
{{Box|Übung|Übernimm folgende Terme in dein '''Heft''', klammere aus und bestimme die Nullstellen!<br> Arbeite '''absolut übersichtlich und ordentlich'''. Hebe die '''Nullstellen mit Farbe''' hervor!|Üben}}<br />
<br />
<br />
*<math>f(x)=x^3-4x^2</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> f(x)=x^3-4x^2 = x^2 (x-4) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=4</math>|2= Lösung anzeigen|3= Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
*<math>g(x)=3x^2-6x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|<math>g(x)=3x^2-6x = 3x (x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br />
*<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x=4x(x^2-4x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2-\sqrt{6}, x_3 =2+\sqrt{6}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
*<math>l(x)=2x^4-4x^2</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|<math>l(x)=2x^4-4x^2 = 2x^2 (x^2-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=-\sqrt{2}, x_3 =\sqrt{2}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
*<math>m(x)=5x^3+2x^2-x</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>m(x)=5x^3+2x^2-x = x(5x^2+2x-1) \text{ mit der einzigen Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}, x_3 =\frac{1+\sqrt{6}}{5}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''Ausklammern ist geschafft! Weiter geht's mit dem Faktorisieren von Polynomen :)'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../2. Faktorisierung von Polynomen und Polynomdivision}}<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/1._Ausklammern&diff=96231Nullstellen bestimmen/1. Ausklammern2019-07-09T06:16:13Z<p>Florian Ferstl: neuer Seitenname</p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
<br />
__NOTOC__<br />
<br />
==Station 1: Nullstellen bestimmen durch Ausklammern (Faktorisieren)==<br />
<br><br />
<br />
==Wiederholung - nur falls nötig...==<br />
Du solltest mit dem Prinzip des Ausklammerns gut vertraut sein. Falls nicht, schaue dir vorsichtshalber folgendes Video an.<br> <br />
<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]<br />
|{{#ev:youtube|N8F9qLsE_98|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br><br><br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
In diesem Video wird dir gezeigt, in welchen Fällen das Prinzip des Ausklammern möglich ist, und wie du damit im Anschluss die Nullstellen berechnen kannst.<br />
<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]<br />
|{{#ev:youtube|8xHaW2LePeo|460|center}}<br />
}}<br />
<br><br><br />
<br />
==Arbeitsblatt studieren==<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Lies dir im Skript den Abschnitt "1. Faktorisieren durch Ausklammern aufmerksam durch! Bearbeite den gestellten Arbeitsauftrag sauber und ordentlich!'''<br><br><br />
[[Datei:Ausklammern.png|300px|center|Hefteintrag Ausklammern|gerahmt]]|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br><br><br />
<br />
==Teste dich!==<br />
{{Box|Übung|Übernimm folgende Terme in dein '''Heft''', klammere aus und bestimme die Nullstellen!<br> Arbeite '''absolut übersichtlich und ordentlich'''. Hebe die '''Nullstellen mit Farbe''' hervor!|Üben}}<br />
<br />
<br />
*<math>f(x)=x^3-4x^2</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> f(x)=x^3-4x^2 = x^2 (x-4) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=4</math>|2= Lösung anzeigen|3= Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
*<math>g(x)=3x^2-6x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|<math>g(x)=3x^2-6x = 3x (x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br />
*<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x=4x(x^2-4x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2-\sqrt{6}, x_3 =2+\sqrt{6}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
*<math>l(x)=2x^4-4x^2</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|<math>l(x)=2x^4-4x^2 = 2x^2 (x^2-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=-\sqrt{2}, x_3 =\sqrt{2}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
*<math>m(x)=5x^3+2x^2-x</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>m(x)=5x^3+2x^2-x = x(5x^2+2x-1) \text{ mit der einzigen Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}, x_3 =\frac{1+\sqrt{6}}{5}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''Ausklammern ist geschafft! Weiter geht's mit dem Faktorisieren von Polynomen :)'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../3. Faktorisieren von Polynomen}}<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen&diff=96228Nullstellen bestimmen2019-07-09T06:13:44Z<p>Florian Ferstl: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
{{Box|Lernpfad|<br />
===In diesem Lernpfad===<br />
*lernst du, wie du deine Kenntnisse zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen nutzen kannst, um ganzrationale Gleichungen höheren Grades lösen zu können<br />
*wiederholst, warum Ausklammern immer sinnvoll ist und wann man Ausklammern kann<br />
*lernst du, wie man mit Hilfe der Substitution Gleichungen löst<br />
*lernst du, wie man ganzrationale Funktionsterme faktorisieren kann<br />
*lernst du, wie man mit Hilfe der Polynomdivision Gleichungen löst<br />
*lernst du, wie man einzelne, ganzzahlige Lösungen "erraten" kann<br />
<br />
===Das solltest du bereits können===<br />
*Verständnis dafür, was Nullstellen sind<br />
*Lineare Gleichungen lösen können<br />
*Quadratische Gleichungen Lösen können (Ausklammern, Wurzelziehen, Mitternachtsformel)<br />
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]<br />
|Lernpfad}}<br />
<br />
<br />
{{Nullstellen bestimmen}}<br />
<br />
<br><br />
==Hefteintrag==<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Hier findest du das Skript zum Lernpfad, komplett als PDF-Datei. Die einzelnen Arbeitsblätter sind in den jeweiligen Stationen noch einmal verlinkt'''<br><br><br />
[[Datei:Skript_Lernpfad.pdf|300px|Lerninhalte zu Polynomfunktionen]]<br />
|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
<br><br><br />
<br />
<br />
===Erklärung der verwendeten Symbole===<br />
Damit du den Lernpfad ohne Probleme durchführen kannst ist es wichtig, <br><br />
dass du die verwendeten Symbole und Grafiken kennst und weißt, was sie für dich bedeuten.<br />
<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Merke|Hierbei handelt es sich um einen Merksatz. '''Merksätze''' musst du grundsätzlich '''immer in dein Schulheft übertragen''', inklusive einer farbigen Umrahmung.|Merksatz}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Aufgabe|Immer wenn du diesen Kasten mit dem Stiftsymbol siehst, gibt es eine '''Aufgabe schriftlich im Schulheft zu bearbeiten!'''|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung|Übungsaufgaben werden entweder '''online oder im Übungsheft''' bearbeitet. Genaueres steht jeweils mit dabei.|Üben}}<br />
<br />
<br><br />
{|<br />
|Vergiss nicht, dass du die Zeit im Auge behältst. <br>Oberstes Ziel ist zwar, dass du alles verstehst, trotzdem solltest du nicht trödeln!<br />
|[[Datei:Time-1019921 1920.jpg|180px|Zeitwächter]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
<big>Nun kann es aber endlich losgehen! Viel Erfolg!</big><br />
<br />
<br />
'''Beginne doch gleich mit der ersten Station!'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Hier geht es los|weiterlink=/0. Überblick}}<br />
<br />
<br />
{{Autoren|Florian Ferstl}}<br />
<br />
[[Kategorie:Nullstellen bestimmen|!]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:Mathematik-digital]]<br />
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Lernpfad]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/Ausklammern&diff=96227Nullstellen bestimmen/Ausklammern2019-07-09T06:10:13Z<p>Florian Ferstl: /* Station 2: Nullstellen bestimmen durch Ausklammern (Faktorisieren) */</p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
<br />
__NOTOC__<br />
<br />
==Station 1: Nullstellen bestimmen durch Ausklammern (Faktorisieren)==<br />
<br><br />
<br />
==Wiederholung - nur falls nötig...==<br />
Du solltest mit dem Prinzip des Ausklammerns gut vertraut sein. Falls nicht, schaue dir vorsichtshalber folgendes Video an.<br> <br />
<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]<br />
|{{#ev:youtube|N8F9qLsE_98|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br><br><br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
In diesem Video wird dir gezeigt, in welchen Fällen das Prinzip des Ausklammern möglich ist, und wie du damit im Anschluss die Nullstellen berechnen kannst.<br />
<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]<br />
|{{#ev:youtube|8xHaW2LePeo|460|center}}<br />
}}<br />
<br><br><br />
<br />
==Arbeitsblatt studieren==<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Lies dir im Skript den Abschnitt "1. Faktorisieren durch Ausklammern aufmerksam durch! Bearbeite den gestellten Arbeitsauftrag sauber und ordentlich!'''<br><br><br />
[[Datei:Ausklammern.png|300px|center|Hefteintrag Ausklammern|gerahmt]]|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br><br><br />
<br />
==Teste dich!==<br />
{{Box|Übung|Übernimm folgende Terme in dein '''Heft''', klammere aus und bestimme die Nullstellen!<br> Arbeite '''absolut übersichtlich und ordentlich'''. Hebe die '''Nullstellen mit Farbe''' hervor!|Üben}}<br />
<br />
<br />
*<math>f(x)=x^3-4x^2</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> f(x)=x^3-4x^2 = x^2 (x-4) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=4</math>|2= Lösung anzeigen|3= Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
*<math>g(x)=3x^2-6x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|<math>g(x)=3x^2-6x = 3x (x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br />
*<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x=4x(x^2-4x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2-\sqrt{6}, x_3 =2+\sqrt{6}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
*<math>l(x)=2x^4-4x^2</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|<math>l(x)=2x^4-4x^2 = 2x^2 (x^2-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=-\sqrt{2}, x_3 =\sqrt{2}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
*<math>m(x)=5x^3+2x^2-x</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>m(x)=5x^3+2x^2-x = x(5x^2+2x-1) \text{ mit der einzigen Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}, x_3 =\frac{1+\sqrt{6}}{5}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''Ausklammern ist geschafft! Weiter geht's mit dem Faktorisieren von Polynomen :)'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../3. Faktorisieren von Polynomen}}<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/%C3%9Cberblick&diff=96226Nullstellen bestimmen/Überblick2019-07-09T06:09:16Z<p>Florian Ferstl: /* Station 1: Überblick - worum geht's eigentlich? */</p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
<br />
==Einstieg: Überblick - worum geht's eigentlich?==<br />
Um einen Überblick darüber zu bekommen, was dich im Lernpfad erwartet, schaue dir dieses Video an.<br />
<br />
Für den Vollbildmodus rechts unten klicken, mit ESC kommst du wieder zurück.<br />
<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe]]<br />
|{{#ev:youtube|Au0885ibhX8|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br />
Bevor du zur nächsten Station gehst, teste, ob du die Grundlagen zum Lösen von Gleichungen beherrscht!<br />
<br />
{{Box|Übung|Teste hier, ob du die Grundlagen zum Lösen von Gleichungen sicher beherrscht! Du musst die Antworten nicht ins Heft schreiben<br />
<br><br />
{{LearningApp|app=p0fxtswnn18|width=70%|height=500px|center}}<br />
|Üben}}<br />
<br><br />
<br />
<br />
'''So. Nun geht's aber los mit der ersten Strategie, dem Ausklammern! :)'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../2. Ausklammern}}<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Interaktive Übung]]<br />
[[Kategorie:LearningApps]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/Faktorisieren_von_Polynomen&diff=95950Nullstellen bestimmen/Faktorisieren von Polynomen2019-07-02T21:12:32Z<p>Florian Ferstl: /* Polynomdivision */</p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
__NOTOC__<br />
<br />
==Station 3: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision ==<br />
==Worum geht's?==<br />
Wie du schon in Station 2 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.<br />
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.<br />
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)<br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
==Theorie - <u>'''intensiv studieren!'''</u>==<br />
Studiere im Skript den Abschnitt 2.1 und 2.2 <br />
Diese enthalten alle wichtigen Informationen zusammengefasst.<br />
Studiere den Text intensiv und versuche <u>'''alles'''</u> <u></u>möglichst gut <u>'''zu verstehen'''</u>. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!<br />
<br />
[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|thumb]]<br />
<br><br />
<br />
==Verstanden, worum es geht?==<br />
<br />
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)<br />
<br />
<br><br />
<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
<br><br><br />
<br />
In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)<br />
<br><br><br />
<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
<br><br><br />
<br />
==Übung macht den Meister==<br />
<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x<sub>1</sub> und x<sub>2</sub> der Funktion und gib die faktorisierte Form an.<br />
<br><br />
<br> <br />
<br />
<math>f(x)=x^2-4x+3</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=0,5x(x-4)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br><br />
<math>f(x)=2x^2+4x-6</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=2(x+3)(x-1)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!<br />
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br><br />
<br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2<br />
<br />
==Polynomdivision==<br />
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren.<br><br />
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.<br />
<br><br><br><br />
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|K8K4_gowb4E|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br><br><br />
Nimm im Skript Kapitel "2.3 Polynomdivision" zur Hand und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.<br />
<br><br />
<br />
{|<br />
|[[Datei:Polynomdivision.png|500px|gerahmt]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br><br><br><br />
<br />
==Teste dich!==<br />
<br />
{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch.<br><br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5<br />
<br />
<br><br />
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:A1 Lösung Polynomdivision.png|500px|A1 Lösung Polynomdivision]]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>2x+5</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-x^2-3x+1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x^2+2x-1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(x^3+x^2-8x+4):(x-2)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^2+3x-2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
'''<br />
für Experten'''<br><br />
<math>(x^5-1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^4+x^3+x^2+1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-8x^2+x+2):(x^2-2x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x+2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
|Üben}}<br />
<br />
<br><br />
<br><br />
==Abschlussübung==<br />
<br />
{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.<br />
<br><br />
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist.<br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|Üben}}<br />
<br><br />
<br><br />
<br />
'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Interaktive Übung]]<br />
[[Kategorie:LearningApps]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/Faktorisieren_von_Polynomen&diff=95949Nullstellen bestimmen/Faktorisieren von Polynomen2019-07-02T21:11:50Z<p>Florian Ferstl: /* Polynomdivision */</p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
__NOTOC__<br />
<br />
==Station 3: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision ==<br />
==Worum geht's?==<br />
Wie du schon in Station 2 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.<br />
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.<br />
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)<br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
==Theorie - <u>'''intensiv studieren!'''</u>==<br />
Studiere im Skript den Abschnitt 2.1 und 2.2 <br />
Diese enthalten alle wichtigen Informationen zusammengefasst.<br />
Studiere den Text intensiv und versuche <u>'''alles'''</u> <u></u>möglichst gut <u>'''zu verstehen'''</u>. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!<br />
<br />
[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|thumb]]<br />
<br><br />
<br />
==Verstanden, worum es geht?==<br />
<br />
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)<br />
<br />
<br><br />
<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
<br><br><br />
<br />
In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)<br />
<br><br><br />
<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
<br><br><br />
<br />
==Übung macht den Meister==<br />
<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x<sub>1</sub> und x<sub>2</sub> der Funktion und gib die faktorisierte Form an.<br />
<br><br />
<br> <br />
<br />
<math>f(x)=x^2-4x+3</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=0,5x(x-4)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br><br />
<math>f(x)=2x^2+4x-6</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=2(x+3)(x-1)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!<br />
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br><br />
<br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2<br />
<br />
==Polynomdivision==<br />
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren.<br><br />
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.<br />
<br><br><br><br />
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|K8K4_gowb4E|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br><br><br />
Hole dir das Arbeitsblatt vom Pult und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.<br />
<br><br />
<br />
{|<br />
|[[Datei:Polynomdivision.png|500px|gerahmt]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br><br><br><br />
<br />
==Teste dich!==<br />
<br />
{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch.<br><br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5<br />
<br />
<br><br />
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:A1 Lösung Polynomdivision.png|500px|A1 Lösung Polynomdivision]]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>2x+5</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-x^2-3x+1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x^2+2x-1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(x^3+x^2-8x+4):(x-2)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^2+3x-2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
'''<br />
für Experten'''<br><br />
<math>(x^5-1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^4+x^3+x^2+1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-8x^2+x+2):(x^2-2x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x+2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
|Üben}}<br />
<br />
<br><br />
<br><br />
==Abschlussübung==<br />
<br />
{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.<br />
<br><br />
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist.<br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|Üben}}<br />
<br><br />
<br><br />
<br />
'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Interaktive Übung]]<br />
[[Kategorie:LearningApps]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/Faktorisieren_von_Polynomen&diff=95948Nullstellen bestimmen/Faktorisieren von Polynomen2019-07-02T21:11:14Z<p>Florian Ferstl: /* Polynomdivision */</p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
__NOTOC__<br />
<br />
==Station 3: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision ==<br />
==Worum geht's?==<br />
Wie du schon in Station 2 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.<br />
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.<br />
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)<br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
==Theorie - <u>'''intensiv studieren!'''</u>==<br />
Studiere im Skript den Abschnitt 2.1 und 2.2 <br />
Diese enthalten alle wichtigen Informationen zusammengefasst.<br />
Studiere den Text intensiv und versuche <u>'''alles'''</u> <u></u>möglichst gut <u>'''zu verstehen'''</u>. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!<br />
<br />
[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|thumb]]<br />
<br><br />
<br />
==Verstanden, worum es geht?==<br />
<br />
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)<br />
<br />
<br><br />
<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
<br><br><br />
<br />
In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)<br />
<br><br><br />
<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
<br><br><br />
<br />
==Übung macht den Meister==<br />
<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x<sub>1</sub> und x<sub>2</sub> der Funktion und gib die faktorisierte Form an.<br />
<br><br />
<br> <br />
<br />
<math>f(x)=x^2-4x+3</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=0,5x(x-4)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br><br />
<math>f(x)=2x^2+4x-6</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=2(x+3)(x-1)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!<br />
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br><br />
<br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2<br />
<br />
==Polynomdivision==<br />
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren.<br><br />
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.<br />
<br><br><br><br />
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|K8K4_gowb4E|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br><br><br />
Hole dir das Arbeitsblatt vom Pult und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.<br />
<br><br />
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{|<br />
|[[Datei:Polynomdivision.png|300px]]<br />
|}<br />
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<br><br><br><br />
<br />
==Teste dich!==<br />
<br />
{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch.<br><br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5<br />
<br />
<br><br />
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:A1 Lösung Polynomdivision.png|500px|A1 Lösung Polynomdivision]]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>2x+5</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
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<math>(3x^3-x^2-3x+1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x^2+2x-1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
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<math>(x^3+x^2-8x+4):(x-2)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^2+3x-2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
'''<br />
für Experten'''<br><br />
<math>(x^5-1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^4+x^3+x^2+1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-8x^2+x+2):(x^2-2x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x+2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
|Üben}}<br />
<br />
<br><br />
<br><br />
==Abschlussübung==<br />
<br />
{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.<br />
<br><br />
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist.<br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|Üben}}<br />
<br><br />
<br><br />
<br />
'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Interaktive Übung]]<br />
[[Kategorie:LearningApps]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Datei:Polynomdivision.png&diff=95947Datei:Polynomdivision.png2019-07-02T21:10:49Z<p>Florian Ferstl: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Seite5<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Florian Ferstl|Florian Ferstl]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/Faktorisieren_von_Polynomen&diff=95946Nullstellen bestimmen/Faktorisieren von Polynomen2019-07-02T21:09:38Z<p>Florian Ferstl: /* Theorie - '''intensiv studieren!''' */</p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
__NOTOC__<br />
<br />
==Station 3: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision ==<br />
==Worum geht's?==<br />
Wie du schon in Station 2 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.<br />
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.<br />
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)<br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
==Theorie - <u>'''intensiv studieren!'''</u>==<br />
Studiere im Skript den Abschnitt 2.1 und 2.2 <br />
Diese enthalten alle wichtigen Informationen zusammengefasst.<br />
Studiere den Text intensiv und versuche <u>'''alles'''</u> <u></u>möglichst gut <u>'''zu verstehen'''</u>. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!<br />
<br />
[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|thumb]]<br />
<br><br />
<br />
==Verstanden, worum es geht?==<br />
<br />
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)<br />
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<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
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In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)<br />
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<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
<br><br><br />
<br />
==Übung macht den Meister==<br />
<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x<sub>1</sub> und x<sub>2</sub> der Funktion und gib die faktorisierte Form an.<br />
<br><br />
<br> <br />
<br />
<math>f(x)=x^2-4x+3</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=0,5x(x-4)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br><br />
<math>f(x)=2x^2+4x-6</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=2(x+3)(x-1)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!<br />
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br><br />
<br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2<br />
<br />
==Polynomdivision==<br />
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren.<br><br />
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.<br />
<br><br><br><br />
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|K8K4_gowb4E|460|center}}<br />
}}<br />
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Hole dir das Arbeitsblatt vom Pult und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.<br />
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{|<br />
|[[Datei:ABPolynomdivision.pdf|thumb|AB Polynomdivision]]<br />
|}<br />
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==Teste dich!==<br />
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{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch.<br><br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5<br />
<br />
<br><br />
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:A1 Lösung Polynomdivision.png|500px|A1 Lösung Polynomdivision]]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>2x+5</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-x^2-3x+1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x^2+2x-1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
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<math>(x^3+x^2-8x+4):(x-2)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^2+3x-2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
'''<br />
für Experten'''<br><br />
<math>(x^5-1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^4+x^3+x^2+1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-8x^2+x+2):(x^2-2x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x+2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
|Üben}}<br />
<br />
<br><br />
<br><br />
==Abschlussübung==<br />
<br />
{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.<br />
<br><br />
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist.<br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|Üben}}<br />
<br><br />
<br><br />
<br />
'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Interaktive Übung]]<br />
[[Kategorie:LearningApps]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/Faktorisieren_von_Polynomen&diff=95945Nullstellen bestimmen/Faktorisieren von Polynomen2019-07-02T21:08:21Z<p>Florian Ferstl: /* Theorie - '''intensiv studieren!''' */</p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
__NOTOC__<br />
<br />
==Station 3: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision ==<br />
==Worum geht's?==<br />
Wie du schon in Station 2 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.<br />
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.<br />
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)<br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}<br />
}}<br />
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<br><br />
<br />
==Theorie - <u>'''intensiv studieren!'''</u>==<br />
Hole am Pult das Arbeitsblatt zu dieser Station. Es enthält alle wichtigen Informationen zusammengefasst.<br />
Studiere den Text intensiv und versuche <u>'''alles'''</u> <u></u>möglichst gut <u>'''zu verstehen'''</u>. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!<br />
<br />
[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|thumb]]<br />
<br><br />
<br />
==Verstanden, worum es geht?==<br />
<br />
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)<br />
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<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}<br />
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In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)<br />
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{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}<br />
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==Übung macht den Meister==<br />
<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x<sub>1</sub> und x<sub>2</sub> der Funktion und gib die faktorisierte Form an.<br />
<br><br />
<br> <br />
<br />
<math>f(x)=x^2-4x+3</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=0,5x(x-4)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br><br />
<math>f(x)=2x^2+4x-6</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=2(x+3)(x-1)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!<br />
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br><br />
<br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2<br />
<br />
==Polynomdivision==<br />
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren.<br><br />
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.<br />
<br><br><br><br />
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|K8K4_gowb4E|460|center}}<br />
}}<br />
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Hole dir das Arbeitsblatt vom Pult und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.<br />
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{|<br />
|[[Datei:ABPolynomdivision.pdf|thumb|AB Polynomdivision]]<br />
|}<br />
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==Teste dich!==<br />
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{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch.<br><br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5<br />
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<br><br />
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:A1 Lösung Polynomdivision.png|500px|A1 Lösung Polynomdivision]]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>2x+5</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
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<math>(3x^3-x^2-3x+1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x^2+2x-1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
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<math>(x^3+x^2-8x+4):(x-2)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^2+3x-2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
'''<br />
für Experten'''<br><br />
<math>(x^5-1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^4+x^3+x^2+1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-8x^2+x+2):(x^2-2x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x+2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
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|Üben}}<br />
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==Abschlussübung==<br />
<br />
{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.<br />
<br><br />
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist.<br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|Üben}}<br />
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'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Interaktive Übung]]<br />
[[Kategorie:LearningApps]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/Faktorisieren_von_Polynomen&diff=95944Nullstellen bestimmen/Faktorisieren von Polynomen2019-07-02T21:05:29Z<p>Florian Ferstl: /* Theorie - '''intensiv studieren!''' */</p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
__NOTOC__<br />
<br />
==Station 3: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision ==<br />
==Worum geht's?==<br />
Wie du schon in Station 2 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.<br />
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.<br />
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)<br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
==Theorie - <u>'''intensiv studieren!'''</u>==<br />
Hole am Pult das Arbeitsblatt zu dieser Station. Es enthält alle wichtigen Informationen zusammengefasst.<br />
Studiere den Text intensiv und versuche <u>'''alles'''</u> <u></u>möglichst gut <u>'''zu verstehen'''</u>. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!<br />
<br />
<br><br />
<br />
==Verstanden, worum es geht?==<br />
<br />
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)<br />
<br />
<br><br />
<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
<br><br><br />
<br />
In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)<br />
<br><br><br />
<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
<br><br><br />
<br />
==Übung macht den Meister==<br />
<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x<sub>1</sub> und x<sub>2</sub> der Funktion und gib die faktorisierte Form an.<br />
<br><br />
<br> <br />
<br />
<math>f(x)=x^2-4x+3</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=0,5x(x-4)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br><br />
<math>f(x)=2x^2+4x-6</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=2(x+3)(x-1)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!<br />
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br><br />
<br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2<br />
<br />
==Polynomdivision==<br />
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren.<br><br />
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.<br />
<br><br><br><br />
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|K8K4_gowb4E|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br><br><br />
Hole dir das Arbeitsblatt vom Pult und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.<br />
<br><br />
<br />
{|<br />
|[[Datei:ABPolynomdivision.pdf|thumb|AB Polynomdivision]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br><br><br><br />
<br />
==Teste dich!==<br />
<br />
{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch.<br><br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5<br />
<br />
<br><br />
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:A1 Lösung Polynomdivision.png|500px|A1 Lösung Polynomdivision]]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>2x+5</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-x^2-3x+1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x^2+2x-1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(x^3+x^2-8x+4):(x-2)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^2+3x-2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
'''<br />
für Experten'''<br><br />
<math>(x^5-1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^4+x^3+x^2+1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-8x^2+x+2):(x^2-2x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x+2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
|Üben}}<br />
<br />
<br><br />
<br><br />
==Abschlussübung==<br />
<br />
{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.<br />
<br><br />
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist.<br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|Üben}}<br />
<br><br />
<br><br />
<br />
'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Interaktive Übung]]<br />
[[Kategorie:LearningApps]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/Faktorisieren_von_Polynomen&diff=95943Nullstellen bestimmen/Faktorisieren von Polynomen2019-07-02T21:04:43Z<p>Florian Ferstl: /* Theorie - '''intensiv studieren!''' */</p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
__NOTOC__<br />
<br />
==Station 3: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision ==<br />
==Worum geht's?==<br />
Wie du schon in Station 2 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.<br />
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.<br />
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)<br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
==Theorie - <u>'''intensiv studieren!'''</u>==<br />
Hole am Pult das Arbeitsblatt zu dieser Station. Es enthält alle wichtigen Informationen zusammengefasst.<br />
Studiere den Text intensiv und versuche <u>'''alles'''</u> <u></u>möglichst gut <u>'''zu verstehen'''</u>. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!<br />
<br />
<br><br />
[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|thumb|center|Zerlegungssatz]]<br />
[[Datei:Polynome faktorisieren.pdf|thumb|center|Faktorisieren]]<br />
<br />
==Verstanden, worum es geht?==<br />
<br />
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)<br />
<br />
<br><br />
<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
<br><br><br />
<br />
In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)<br />
<br><br><br />
<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
<br><br><br />
<br />
==Übung macht den Meister==<br />
<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x<sub>1</sub> und x<sub>2</sub> der Funktion und gib die faktorisierte Form an.<br />
<br><br />
<br> <br />
<br />
<math>f(x)=x^2-4x+3</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=0,5x(x-4)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br><br />
<math>f(x)=2x^2+4x-6</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=2(x+3)(x-1)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!<br />
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br><br />
<br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2<br />
<br />
==Polynomdivision==<br />
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren.<br><br />
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.<br />
<br><br><br><br />
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|K8K4_gowb4E|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br><br><br />
Hole dir das Arbeitsblatt vom Pult und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.<br />
<br><br />
<br />
{|<br />
|[[Datei:ABPolynomdivision.pdf|thumb|AB Polynomdivision]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br><br><br><br />
<br />
==Teste dich!==<br />
<br />
{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch.<br><br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5<br />
<br />
<br><br />
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:A1 Lösung Polynomdivision.png|500px|A1 Lösung Polynomdivision]]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>2x+5</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-x^2-3x+1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x^2+2x-1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(x^3+x^2-8x+4):(x-2)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^2+3x-2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
'''<br />
für Experten'''<br><br />
<math>(x^5-1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^4+x^3+x^2+1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-8x^2+x+2):(x^2-2x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x+2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
|Üben}}<br />
<br />
<br><br />
<br><br />
==Abschlussübung==<br />
<br />
{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.<br />
<br><br />
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist.<br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|Üben}}<br />
<br><br />
<br><br />
<br />
'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Interaktive Übung]]<br />
[[Kategorie:LearningApps]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/Faktorisieren_von_Polynomen&diff=95942Nullstellen bestimmen/Faktorisieren von Polynomen2019-07-02T21:04:18Z<p>Florian Ferstl: /* Theorie - '''intensiv studieren!''' */</p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
__NOTOC__<br />
<br />
==Station 3: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision ==<br />
==Worum geht's?==<br />
Wie du schon in Station 2 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.<br />
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.<br />
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)<br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
==Theorie - <u>'''intensiv studieren!'''</u>==<br />
Hole am Pult das Arbeitsblatt zu dieser Station. Es enthält alle wichtigen Informationen zusammengefasst.<br />
Studiere den Text intensiv und versuche <u>'''alles'''</u> <u></u>möglichst gut <u>'''zu verstehen'''</u>. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!<br />
<br />
<br><br />
[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|300|center|Zerlegungssatz]]<br />
[[Datei:Polynome faktorisieren.pdf|thumb|center|Faktorisieren]]<br />
<br />
==Verstanden, worum es geht?==<br />
<br />
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)<br />
<br />
<br><br />
<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
<br><br><br />
<br />
In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)<br />
<br><br><br />
<p align="center"><br />
{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}<br />
</p><br />
<br><br><br />
<br />
==Übung macht den Meister==<br />
<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x<sub>1</sub> und x<sub>2</sub> der Funktion und gib die faktorisierte Form an.<br />
<br><br />
<br> <br />
<br />
<math>f(x)=x^2-4x+3</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=0,5x(x-4)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br><br />
<math>f(x)=2x^2+4x-6</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=2(x+3)(x-1)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br> <br />
Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!<br />
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math><br><br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br><br />
<br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2<br />
<br />
==Polynomdivision==<br />
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren.<br><br />
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.<br />
<br><br><br><br />
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]<br />
|{{#ev:youtube|K8K4_gowb4E|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br><br><br />
Hole dir das Arbeitsblatt vom Pult und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.<br />
<br><br />
<br />
{|<br />
|[[Datei:ABPolynomdivision.pdf|thumb|AB Polynomdivision]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br><br><br><br />
<br />
==Teste dich!==<br />
<br />
{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch.<br><br />
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5<br />
<br />
<br><br />
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|[[Datei:A1 Lösung Polynomdivision.png|500px|A1 Lösung Polynomdivision]]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>2x+5</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-x^2-3x+1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x^2+2x-1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(x^3+x^2-8x+4):(x-2)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^2+3x-2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
'''<br />
für Experten'''<br><br />
<math>(x^5-1):(x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>x^4+x^3+x^2+1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
<math>(3x^3-8x^2+x+2):(x^2-2x-1)</math><br />
{{Lösung versteckt|<math>3x+2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br><br />
<br />
|Üben}}<br />
<br />
<br><br />
<br><br />
==Abschlussübung==<br />
<br />
{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.<br />
<br><br />
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist.<br><br />
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
|Üben}}<br />
<br><br />
<br><br />
<br />
'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Interaktive Übung]]<br />
[[Kategorie:LearningApps]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Datei:02_AB_Zerlegungssatz.pdf&diff=95941Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf2019-07-02T21:03:51Z<p>Florian Ferstl: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Seiten 2-4<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Florian Ferstl|Florian Ferstl]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/Ausklammern&diff=95940Nullstellen bestimmen/Ausklammern2019-07-02T21:02:47Z<p>Florian Ferstl: /* Hefteintrag */</p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
<br />
__NOTOC__<br />
<br />
==Station 2: Nullstellen bestimmen durch Ausklammern (Faktorisieren)==<br />
<br><br />
<br />
==Wiederholung - nur falls nötig...==<br />
Du solltest mit dem Prinzip des Ausklammerns gut vertraut sein. Falls nicht, schaue dir vorsichtshalber folgendes Video an.<br> <br />
<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]<br />
|{{#ev:youtube|N8F9qLsE_98|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br><br><br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
In diesem Video wird dir gezeigt, in welchen Fällen das Prinzip des Ausklammern möglich ist, und wie du damit im Anschluss die Nullstellen berechnen kannst.<br />
<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]<br />
|{{#ev:youtube|8xHaW2LePeo|460|center}}<br />
}}<br />
<br><br><br />
<br />
==Arbeitsblatt studieren==<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Lies dir im Skript den Abschnitt "1. Faktorisieren durch Ausklammern aufmerksam durch! Bearbeite den gestellten Arbeitsauftrag sauber und ordentlich!'''<br><br><br />
[[Datei:Ausklammern.png|300px|center|Hefteintrag Ausklammern|gerahmt]]|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br><br><br />
<br />
==Teste dich!==<br />
{{Box|Übung|Übernimm folgende Terme in dein '''Heft''', klammere aus und bestimme die Nullstellen!<br> Arbeite '''absolut übersichtlich und ordentlich'''. Hebe die '''Nullstellen mit Farbe''' hervor!|Üben}}<br />
<br />
<br />
<br />
*<math>f(x)=x^3-4x^2</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> f(x)=x^3-4x^2 = x^2 (x-4) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=4</math>|2= Lösung anzeigen|3= Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
<br />
*<math>g(x)=3x^2-6x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|<math>g(x)=3x^2-6x = 3x (x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br />
*<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x=4x(x^2-4x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2-\sqrt{6}, x_3 =2+\sqrt{6}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
*<math>l(x)=2x^4-4x^2</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|<math>l(x)=2x^4-4x^2 = 2x^2 (x^2-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=-\sqrt{2}, x_3 =\sqrt{2}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
*<math>m(x)=5x^3+2x^2-x</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>m(x)=5x^3+2x^2-x = x(5x^2+2x-1) \text{ mit der einzigen Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}, x_3 =\frac{1+\sqrt{6}}{5}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''Ausklammern ist geschafft! Weiter geht's mit dem Faktorisieren von Polynomen :)'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../3. Faktorisieren von Polynomen}}<br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/Ausklammern&diff=95939Nullstellen bestimmen/Ausklammern2019-07-02T21:02:16Z<p>Florian Ferstl: /* Hefteintrag */</p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
<br />
__NOTOC__<br />
<br />
==Station 2: Nullstellen bestimmen durch Ausklammern (Faktorisieren)==<br />
<br><br />
<br />
==Wiederholung - nur falls nötig...==<br />
Du solltest mit dem Prinzip des Ausklammerns gut vertraut sein. Falls nicht, schaue dir vorsichtshalber folgendes Video an.<br> <br />
<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]<br />
|{{#ev:youtube|N8F9qLsE_98|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br><br><br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
In diesem Video wird dir gezeigt, in welchen Fällen das Prinzip des Ausklammern möglich ist, und wie du damit im Anschluss die Nullstellen berechnen kannst.<br />
<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]<br />
|{{#ev:youtube|8xHaW2LePeo|460|center}}<br />
}}<br />
<br><br><br />
<br />
==Hefteintrag==<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Lies dir im Skript den Abschnitt "1. Faktorisieren durch Ausklammern aufmerksam durch! Bearbeite den gestellten Arbeitsauftrag sauber und ordentlich!'''<br><br><br />
[[Datei:Ausklammern.png|300px|center|Hefteintrag Ausklammern|gerahmt]]|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br><br><br />
<br />
==Teste dich!==<br />
{{Box|Übung|Übernimm folgende Terme in dein '''Heft''', klammere aus und bestimme die Nullstellen!<br> Arbeite '''absolut übersichtlich und ordentlich'''. Hebe die '''Nullstellen mit Farbe''' hervor!|Üben}}<br />
<br />
<br />
<br />
*<math>f(x)=x^3-4x^2</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> f(x)=x^3-4x^2 = x^2 (x-4) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=4</math>|2= Lösung anzeigen|3= Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
<br />
*<math>g(x)=3x^2-6x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|<math>g(x)=3x^2-6x = 3x (x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br />
*<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x=4x(x^2-4x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2-\sqrt{6}, x_3 =2+\sqrt{6}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
*<math>l(x)=2x^4-4x^2</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|<math>l(x)=2x^4-4x^2 = 2x^2 (x^2-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=-\sqrt{2}, x_3 =\sqrt{2}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
*<math>m(x)=5x^3+2x^2-x</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>m(x)=5x^3+2x^2-x = x(5x^2+2x-1) \text{ mit der einzigen Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}, x_3 =\frac{1+\sqrt{6}}{5}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''Ausklammern ist geschafft! Weiter geht's mit dem Faktorisieren von Polynomen :)'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../3. Faktorisieren von Polynomen}}<br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen/Ausklammern&diff=95938Nullstellen bestimmen/Ausklammern2019-07-02T21:01:59Z<p>Florian Ferstl: /* Hefteintrag */</p>
<hr />
<div>{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}<br />
<br />
__NOTOC__<br />
<br />
==Station 2: Nullstellen bestimmen durch Ausklammern (Faktorisieren)==<br />
<br><br />
<br />
==Wiederholung - nur falls nötig...==<br />
Du solltest mit dem Prinzip des Ausklammerns gut vertraut sein. Falls nicht, schaue dir vorsichtshalber folgendes Video an.<br> <br />
<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]<br />
|{{#ev:youtube|N8F9qLsE_98|460|center}}<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br><br><br />
<br />
==Informiere dich!==<br />
In diesem Video wird dir gezeigt, in welchen Fällen das Prinzip des Ausklammern möglich ist, und wie du damit im Anschluss die Nullstellen berechnen kannst.<br />
<br />
<br />
{{2Spalten<br />
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]<br />
|{{#ev:youtube|8xHaW2LePeo|460|center}}<br />
}}<br />
<br><br><br />
<br />
==Hefteintrag==<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Lies dir im Skript den Abschnitt "1. Faktorisieren durch Ausklammern aufmerksam durch! Bearbeite den gestellten Arbeitsauftrag sauber und ordentlich!'''<br><br><br />
[[Datei:Ausklammern.png|600px|center|Hefteintrag Ausklammern|gerahmt]]|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br><br><br />
<br />
==Teste dich!==<br />
{{Box|Übung|Übernimm folgende Terme in dein '''Heft''', klammere aus und bestimme die Nullstellen!<br> Arbeite '''absolut übersichtlich und ordentlich'''. Hebe die '''Nullstellen mit Farbe''' hervor!|Üben}}<br />
<br />
<br />
<br />
*<math>f(x)=x^3-4x^2</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1= <math> f(x)=x^3-4x^2 = x^2 (x-4) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=4</math>|2= Lösung anzeigen|3= Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
<br />
*<math>g(x)=3x^2-6x </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|<math>g(x)=3x^2-6x = 3x (x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br />
*<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x=4x(x^2-4x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2-\sqrt{6}, x_3 =2+\sqrt{6}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
*<math>l(x)=2x^4-4x^2</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|<math>l(x)=2x^4-4x^2 = 2x^2 (x^2-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=-\sqrt{2}, x_3 =\sqrt{2}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
*<math>m(x)=5x^3+2x^2-x</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<math>m(x)=5x^3+2x^2-x = x(5x^2+2x-1) \text{ mit der einzigen Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}, x_3 =\frac{1+\sqrt{6}}{5}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
<br />
'''Ausklammern ist geschafft! Weiter geht's mit dem Faktorisieren von Polynomen :)'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../3. Faktorisieren von Polynomen}}<br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Datei:Ausklammern.png&diff=95937Datei:Ausklammern.png2019-07-02T21:00:34Z<p>Florian Ferstl: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p>
<hr />
<div>{{Information<br />
|description = Seite 1<br />
|source = Eigene Arbeit<br />
|author = [[User:Florian Ferstl|Florian Ferstl]]<br />
}}<br />
<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen&diff=95936Nullstellen bestimmen2019-07-02T20:47:58Z<p>Florian Ferstl: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
{{Box|Lernpfad|<br />
===In diesem Lernpfad===<br />
*lernst du, wie du deine Kenntnisse zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen nutzen kannst, um ganzrationale Gleichungen höheren Grades lösen zu können<br />
*wiederholst, warum Ausklammern immer sinnvoll ist und wann man Ausklammern kann<br />
*lernst du, wie man mit Hilfe der Substitution Gleichungen löst<br />
*lernst du, wie man ganzrationale Funktionsterme faktorisieren kann<br />
*lernst du, wie man mit Hilfe der Polynomdivision Gleichungen löst<br />
*lernst du, wie man einzelne, ganzzahlige Lösungen "erraten" kann<br />
<br />
===Das solltest du bereits können===<br />
*Verständnis dafür, was Nullstellen sind<br />
*Lineare Gleichungen lösen können<br />
*Quadratische Gleichungen Lösen können (Ausklammern, Wurzelziehen, Mitternachtsformel)<br />
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]<br />
|Lernpfad}}<br />
<br />
<br />
{{Nullstellen bestimmen}}<br />
<br />
<br><br />
==Hefteintrag==<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Hier findest du das Skript zum Lernpfad, komplett als PDF-Datei. Die einzelnen Arbeitsblätter sind in den jeweiligen Stationen noch einmal verlinkt'''<br><br><br />
[[Datei:Skript_Lernpfad.pdf|300px|Lerninhalte zu Polynomfunktionen]]<br />
|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br />
<br><br><br />
<br />
<br />
===Erklärung der verwendeten Symbole===<br />
Damit du den Lernpfad ohne Probleme durchführen kannst ist es wichtig, <br><br />
dass du die verwendeten Symbole und Grafiken kennst und weißt, was sie für dich bedeuten.<br />
<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Merke|Hierbei handelt es sich um einen Merksatz. '''Merksätze''' musst du grundsätzlich '''immer in dein Schulheft übertragen''', inklusive einer farbigen Umrahmung.|Merksatz}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Aufgabe|Immer wenn du diesen Kasten mit dem Stiftsymbol siehst, gibt es eine '''Aufgabe schriftlich im Schulheft zu bearbeiten!'''|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung|Übungsaufgaben werden entweder '''online oder im Übungsheft''' bearbeitet. Genaueres steht jeweils mit dabei.|Üben}}<br />
<br />
<br><br />
{|<br />
|Vergiss nicht, dass du die Zeit im Auge behältst. <br>Oberstes Ziel ist zwar, dass du alles verstehst, trotzdem solltest du nicht trödeln!<br />
|[[Datei:Time-1019921 1920.jpg|180px|Zeitwächter]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
<big>Nun kann es aber endlich losgehen! Viel Erfolg!</big><br />
<br />
<br />
'''Beginne doch gleich mit der ersten Station!'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Hier geht es los|weiterlink=/1. Überblick}}<br />
<br />
<br />
{{Autoren|Florian Ferstl}}<br />
<br />
[[Kategorie:Nullstellen bestimmen|!]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:Mathematik-digital]]<br />
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Lernpfad]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen&diff=95935Nullstellen bestimmen2019-07-02T20:45:34Z<p>Florian Ferstl: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
{{Box|Lernpfad|<br />
===In diesem Lernpfad===<br />
*lernst du, wie du deine Kenntnisse zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen nutzen kannst, um ganzrationale Gleichungen höheren Grades lösen zu können<br />
*wiederholst, warum Ausklammern immer sinnvoll ist und wann man Ausklammern kann<br />
*lernst du, wie man mit Hilfe der Substitution Gleichungen löst<br />
*lernst du, wie man ganzrationale Funktionsterme faktorisieren kann<br />
*lernst du, wie man mit Hilfe der Polynomdivision Gleichungen löst<br />
*lernst du, wie man einzelne, ganzzahlige Lösungen "erraten" kann<br />
<br />
===Das solltest du bereits können===<br />
*Verständnis dafür, was Nullstellen sind<br />
*Lineare Gleichungen lösen können<br />
*Quadratische Gleichungen Lösen können (Ausklammern, Wurzelziehen, Mitternachtsformel)<br />
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]<br />
|Lernpfad}}<br />
<br />
<br />
{{Nullstellen bestimmen}}<br />
<br />
<br><br />
==Hefteintrag==<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=<br />
Hier findest du das Skript zum Lernpfad, komplett als PDF-Datei. Die einzelnen Arbeitsblätter sind in den jeweiligen Stationen noch einmal verlinkt'''<br><br><br />
[[Datei:Skript_Lernpfad.pdf|thumb|Lerninhalte zu Polynomfunktionen]]<br />
|3=Arbeitsmethode}}<br />
<br />
[[Datei:Skript Lernpfad Nullstellen und Faktorisieren von Polynomen.pdf|thumb|Lerninhalte zu Polynomfunktionen]]<br />
<br />
<br><br><br />
<br />
<br />
<br />
===Erklärung der verwendeten Symbole===<br />
Damit du den Lernpfad ohne Probleme durchführen kannst ist es wichtig, <br><br />
dass du die verwendeten Symbole und Grafiken kennst und weißt, was sie für dich bedeuten.<br />
<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Merke|Hierbei handelt es sich um einen Merksatz. '''Merksätze''' musst du grundsätzlich '''immer in dein Schulheft übertragen''', inklusive einer farbigen Umrahmung.|Merksatz}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Aufgabe|Immer wenn du diesen Kasten mit dem Stiftsymbol siehst, gibt es eine '''Aufgabe schriftlich im Schulheft zu bearbeiten!'''|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung|Übungsaufgaben werden entweder '''online oder im Übungsheft''' bearbeitet. Genaueres steht jeweils mit dabei.|Üben}}<br />
<br />
<br><br />
{|<br />
|Vergiss nicht, dass du die Zeit im Auge behältst. <br>Oberstes Ziel ist zwar, dass du alles verstehst, trotzdem solltest du nicht trödeln!<br />
|[[Datei:Time-1019921 1920.jpg|180px|Zeitwächter]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
<big>Nun kann es aber endlich losgehen! Viel Erfolg!</big><br />
<br />
<br />
'''Beginne doch gleich mit der ersten Station!'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Hier geht es los|weiterlink=/1. Überblick}}<br />
<br />
<br />
{{Autoren|Florian Ferstl}}<br />
<br />
[[Kategorie:Nullstellen bestimmen|!]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:Mathematik-digital]]<br />
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Lernpfad]]</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Datei:Skript_Lernpfad.pdf&diff=95934Datei:Skript Lernpfad.pdf2019-07-02T20:41:19Z<p>Florian Ferstl: Folge von AB</p>
<hr />
<div>== Beschreibung ==<br />
Folge von AB<br />
== Lizenz ==<br />
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>Florian Ferstlhttps://unterrichten.zum.de/index.php?title=Nullstellen_bestimmen&diff=95933Nullstellen bestimmen2019-07-02T20:31:42Z<p>Florian Ferstl: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
{{Box|Lernpfad|<br />
===In diesem Lernpfad===<br />
*lernst du, wie du deine Kenntnisse zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen nutzen kannst, um ganzrationale Gleichungen höheren Grades lösen zu können<br />
*wiederholst, warum Ausklammern immer sinnvoll ist und wann man Ausklammern kann<br />
*lernst du, wie man mit Hilfe der Substitution Gleichungen löst<br />
*lernst du, wie man ganzrationale Funktionsterme faktorisieren kann<br />
*lernst du, wie man mit Hilfe der Polynomdivision Gleichungen löst<br />
*lernst du, wie man einzelne, ganzzahlige Lösungen "erraten" kann<br />
<br />
===Das solltest du bereits können===<br />
*Verständnis dafür, was Nullstellen sind<br />
*Lineare Gleichungen lösen können<br />
*Quadratische Gleichungen Lösen können (Ausklammern, Wurzelziehen, Mitternachtsformel)<br />
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]<br />
|Lernpfad}}<br />
<br />
<br />
{{Nullstellen bestimmen}}<br />
<br />
Hier findest du das Skript zum Lernpfad, komplett als PDF-Datei. Die einzelnen Arbeitsblätter sind in den jeweiligen Stationen noch einmal verlinkt.<br />
<br />
<br />
===Erklärung der verwendeten Symbole===<br />
Damit du den Lernpfad ohne Probleme durchführen kannst ist es wichtig, <br><br />
dass du die verwendeten Symbole und Grafiken kennst und weißt, was sie für dich bedeuten.<br />
<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Merke|Hierbei handelt es sich um einen Merksatz. '''Merksätze''' musst du grundsätzlich '''immer in dein Schulheft übertragen''', inklusive einer farbigen Umrahmung.|Merksatz}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Aufgabe|Immer wenn du diesen Kasten mit dem Stiftsymbol siehst, gibt es eine '''Aufgabe schriftlich im Schulheft zu bearbeiten!'''|Arbeitsmethode}}<br />
<br />
<br><br />
<br />
{{Box|Übung|Übungsaufgaben werden entweder '''online oder im Übungsheft''' bearbeitet. Genaueres steht jeweils mit dabei.|Üben}}<br />
<br />
<br><br />
{|<br />
|Vergiss nicht, dass du die Zeit im Auge behältst. <br>Oberstes Ziel ist zwar, dass du alles verstehst, trotzdem solltest du nicht trödeln!<br />
|[[Datei:Time-1019921 1920.jpg|180px|Zeitwächter]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
<big>Nun kann es aber endlich losgehen! Viel Erfolg!</big><br />
<br />
<br />
'''Beginne doch gleich mit der ersten Station!'''<br />
<br />
{{Fortsetzung|weiter=Hier geht es los|weiterlink=/1. Überblick}}<br />
<br />
<br />
{{Autoren|Florian Ferstl}}<br />
<br />
[[Kategorie:Nullstellen bestimmen|!]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Mathematik]]<br />
[[Kategorie:Mathematik-digital]]<br />
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]<br />
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<br />
[[Kategorie:Lernpfad]]</div>Florian Ferstl